Βάση του χώρου U+V

stelmarg · #1

Έστω Χ διανυσματικός χώρος και U,V

υπόχωροι με βάσεις
{ ${^{_{u1,u2,...,un}}$ } και { $\left { ^{_{v1,v2,...,vm}$ } αντίστοιχα. Αν γνωρίζουμε ότι $U\cap V= \left \left \{0 \right \} \right$ τότε να δειχθεί ότι τα διανύσματα { $^{_{u1,u2,...,un,v1,v2,...,vm}}$ }
αποτελούν βάση του διανυσματικού χώρου U+V

BAGGP93 · #2

Αρχικά το σύνολο $\left\{u_1,...,u_n,v_1,...,v_m\right\}$ παράγει το U+V.

Πράγματι, το τυπικό στοιχείο $x\in U+V$ είναι της μορφής

x=u+v

με $u\in U,\,\,v\in V.$ Όμως, u=a_1 u_1+...+a_n u_n

και

για κάποια

$a_i,\,b_j\in\mathbb{F},\,\,i=1,...,n,\,j=1,...,m.$ Τότε

$\displaystyle{x=u+v=a_1 u_1+...+a_n u_n+b_1 v_1+...+b_m v_m.}$

Γραμμική ανεξαρτησία Έστω $c_1,...,c_{n},d_1,...,d_m\in\mathbb{F}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{c_1 u_1+...c_n u_n+d_1 v_1+...+d_m v_m=0.}$

Γράψε και παρατήρησε ότι κάθε μέλος της ισότητας είναι στοιχείο του $U\cap V=\left\{0\right\},$

άρα κάθε ένα είναι μηδέν, οπότε από γραμμική ανεξαρτησία των $\left\{u_1,...,u_n\right\}$ παίρνεις και από γραμμική

ανεξαρτησία των $\left\{v_1,...,v_m\right\}$ παίρνεις

stelmarg · #3

Ευχαριστώ πολύ!
Δεν μπορούσα να αποδείξω την γραμμική ανεξαρτησία.

#4

Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

$\displaystyle \dim(U+V) = \dim(U) + \dim(V) - \dim(U \cap V)$

που δίνει $\dim(U+V) = m+n$ .

Άρα αρκεί να δείξουμε μόνο τη γραμμική ανεξαρτησία ή μονο ότι το δοθέν σύνολο παράγει το U+V

.

Βάση του χώρου U+V

Βάση του χώρου U+V

Re: Βάση του χώρου U+V

Re: Βάση του χώρου U+V

Re: Βάση του χώρου U+V

Μέλη σε σύνδεση