Εύρεση τιμής παράστασης

#1

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha, \beta$ .
Αν η ανισοισότητα $|x^2-\alpha x+\beta|\le\frac{1}{8},$ ισχύει για κάθε $x \in [1,2]$
τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
$20\alpha+16\beta$

abgd · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 11:43 pm
Έστω οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha, \beta$ .
Αν η ανισοισότητα $|x^2-\alpha x+\beta|\le\frac{1}{8},$ ισχύει για κάθε $x \in [1,2]$
τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
$20\alpha+16\beta$

Δεν υπάρχουν $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{|x^2-a x+b|\leq\frac{1}{8}, \ \ \forall x\in [1,2]}$

Απόδειξη

Έστω ότι γίνεται. Θα είναι $\displaystyle{f(x)=x^2-ax+b-\frac{1}{8}\leq0, \ \ \forall x\in [1,2]}$ και $\displaystyle{g(x)=x^2-ax+b+\frac{1}{8}\geq0, \ \ \forall x\in [1,2]}$

Το τριώνυμο $\displaystyle{f(x)}$ θα πρέπει να έχει δύο ρίζες $\displaystyle{r_1,r_2, \ \ r_1 \leq1<2 \leq r_2}$ , οι οποίες επαληθεύουν την $\displaystyle{g(x)\geq0}$ .

Αν τώρα το $\displaystyle{g(x)}$ έχει δύο άνισες ρίζες αυτές θα πρέπει να είναι, και οι δύο, μικρότερες ή ίσες από την $\displaystyle{r_1}$ ή μεγαλύτερες ή ίσες από την $\displaystyle{r_2}$

Αν $\displaystyle{r}$ ρίζα του $\displaystyle{g(x)}$ , τότε θα πρέπει $\displaystyle{f(r)\geq0}$ , το οποίο είναι είναι αδύνατο.

Άρα θα πρέπει το $\displaystyle{g(x)}$ να έχει $\displaystyle{\Delta\leq0 \Leftrightarrow a^2-4b\leq \frac{1}{2}}$ .

Με τη βοήθεια της τελευταίας ανισότητας και των τύπων των ριζών βλέπουμε ότι

$\displaystyle{r_1\leq1 \Leftrightarrow a\leq 2+\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{r_2\geq2 \Leftrightarrow a\geq 4-\frac{1}{2}}$ το οποίο είναι αδύνατο.

Edit.: Έκανα λάθος μια πρόσθεση....

Διορθώνω: $\displaystyle{r_1\leq1 \Leftrightarrow a\leq 2+1=3}$ και $\displaystyle{r_2\geq2 \Leftrightarrow a\geq 4-1=3}$ .

Άρα πρέπει $\displaystyle{\boxed{a=3}}$ , με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle{r_1=1} , r_2=2}$ .

Οπότε $\displaystyle{1-a+b-\frac{1}{8}=0\Leftrightarrow \boxed{b=2+\frac{1}{8}}}$ ....

#3

Νομίζω ότι υπάρχουν a,b

και το ζεύγος είναι μοναδικό.

Για x=1

παίρνουμε ότι $\displaystyle{1+b-a\leq \frac{1}{8}}$ Για x=2

παίρνουμε $\displaystyle{4-2a+b\leq \frac{1}{8}}$ Τέλος, για $x=\frac{3}{2}$ έχουμε $\displaystyle{9/4-3a/2+b\geq -1/8}$

Με πρόσθεση των δύο πρώτων παίρνουμε $\displaystyle{b-\frac{3a}{2}\leq\frac{-19}{8}}$ ενώ η δεύτερη δίνει $\displaystyle{b-\frac{3a}{2}\geq\frac{-19}{8}}$

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να έχουμε παντού ισότητα. Τότε, λύνοντας το σύστημα παίρνουμε a=3

, $b=\frac{17}{8}$ .

Για αυτές τις τιμές παίρνουμε ότι το τριώνυμο μέσα στο απόλυτο γράφεται ως $(x-1)(x-2)+\frac{1}{8}$ . Στο διάστημα [1,2]

παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή, τις $\frac{1}{8}$ (για x=1

και

) και $-\frac{1}{8}$ για $x=\frac{3}{2}$ , αντίστοιχα.

#4

Ευχαριστώ πολύ για την λύση (πολύ απλούστερη της δικής μου) Σιλουανέ!
Κύριε abgd ευχαριστώ πολύ για την ένστασή σας, θα την μελετήσω.

abgd · #5

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 22, 2024 1:03 pm
Ευχαριστώ πολύ για την λύση (πολύ απλούστερη της δικής μου) Σιλουανέ!
Κύριε abgd ευχαριστώ πολύ για την ένστασή σας, θα την μελετήσω.

Χρήστο...εντάξει είναι εκτός αν $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Το έχω διορθώσει.

ksofsa · #6

Λίγο διαφορετικά, θεωρώντας γνωστή τη θεωρία των πολυωνύμων Chebychev.

Έχουμε $4\left | x^2-ax+b \right |\leq \dfrac{1}{2}\Rightarrow \left | (2x)^2-2a(2x) +4b \right |\leq \dfrac{1}{2},\forall x\in [1,2]$

και άρα

$\left | y^2-2ay+4b \right |\leq \dfrac{1}{2},\forall y\in [2,4]$ .

Θέτω y=z+3

και παίρνω

$\left | (z+3)^2-2(z+3)a+4b \right |\leq \dfrac{1}{2}\Rightarrow \left | z^2+(6-2a)z+9-6a+4b \right |\leq \dfrac{1}{2}, \forall z\in [-1,1]$ .

Όμως, η ελάχιστη άπειρο-νόρμα για μονικό πολυώνυμο 2ου βαθμού στο [-1,1]

είναι $\dfrac{1}{2}$ και πιάνεται για το πολυώνυμο $p(z)=z^2-\dfrac{1}{2}$ (βάσει της θεωρίας πολυωνύμων Chebychev).

Οπότε $6-2a=0, 9-6a+4b=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=3,b=\dfrac{17}{8}$ .

Εύρεση τιμής παράστασης

Εύρεση τιμής παράστασης

Re: Εύρεση τιμής παράστασης

Re: Εύρεση τιμής παράστασης

Re: Εύρεση τιμής παράστασης

Re: Εύρεση τιμής παράστασης

Re: Εύρεση τιμής παράστασης

Μέλη σε σύνδεση