Μέγιστη τιμή παράστασης

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 04, 2024 12:02 pm
Αν ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2$ και ${{c}^{2}}+{{d}^{2}}=2$ , τότε υπολογίστε τη μέγιστη τιμή που μπορεί

να πάρει η παράσταση: $\left( 1-a \right)\left( 1-c \right)+\left( 1-b \right)\left( 1-d \right)$ .

Πρώτα παρατηρούμε ότι επειδή τα σημεία $M(a,b), \, N(1,1)$ είναι και τα δύο στον κύκλο x^2+y^2=2

(διαμέτρου $2\sqrt 2$ ), η μέγιστη απόσταση μεταξύ τους είναι όταν είναι αντιδιαμετρικά. Δηλαδή (a,b)=(-1,-1)

, οπότε $\sqrt { (1-a)^2+(1-b)^2 }= MN= 2\sqrt 2$ . 'Ομοια για τα (c,d)

. Τώρα από C-S έχουμε

$\left( 1-a \right)\left( 1-c \right)+\left( 1-b \right)\left( 1-d \right) \le \sqrt { (1-a)^2+(1-b)^2 } \sqrt { (1-c)^2+(1-d)^2 }\le$

$\le 2 \sqrt 2{\color {red} \times }2 \sqrt 2 = 8$ με ισότητα όταν a=b=c=d=-1

(Διόρθωσα τυπογραφικό).

abgd · #3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 04, 2024 12:02 pm
Αν ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2$ και ${{c}^{2}}+{{d}^{2}}=2$ , τότε υπολογίστε τη μέγιστη τιμή που μπορεί

να πάρει η παράσταση: $\left( 1-a \right)\left( 1-c \right)+\left( 1-b \right)\left( 1-d \right)$ .

Με αφετηρία το παραπάνω ωραίο ξεκίνημα του Μιχάλη....

Τα σημεία $\displaystyle{A(a,b), \ \ B(c,d), \ \ N(1,1)}$ είναι σημεία του κύκλου $\displaystyle{(O,\sqrt{2})}$ .

Είναι

$\displaystyle{\left( 1-a \right)\left( 1-c \right)+\left( 1-b \right)\left( 1-d \right)=\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{BN}\leq \left|\overrightarrow{AN}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BN}\right|\leq 8}$

Η ισότητα ισχύει όταν τα $\displaystyle{A,B}$ συμπίπτουν με το αντιδιαμετρικό του $\displaystyle{N}$ το $\displaystyle{N'(-1,-1)}$

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #5

Μια διαφορετική λύση με τη βοήθεια των ανισοτήτων $\displaystyle{\boxed{-2x\leq x^2+1}, \ \ \boxed{2xy\leq x^2+y^2}}$ ...

$\displaystyle{\left( 1-a \right)\left( 1-c \right)+\left( 1-b \right)\left( 1-d \right)=}$

$\displaystyle{ =2-a-b-c-d+ac+bd=0,5(4-2a-2b-2c-2d+2ac+2ad)\leq}$

$\displaystyle{\leq 0,5(4+a^2+1+b^2+1+c^2+1+d^2+1+a^2+c^2+b^2+d^2)=8}$

... με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle{a=b=c=d=-1}$

Μέγιστη τιμή παράστασης

Μέγιστη τιμή παράστασης

Re: Μέγιστη τιμή παράστασης

Re: Μέγιστη τιμή παράστασης

Re: Μέγιστη τιμή παράστασης

Re: Μέγιστη τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση