Ανίσωση με ακέραιες λύσεις

#1

Να βρεθούν όλες οι ακέραιες τιμές του $\displaystyle{a}$ , ώστε η ανίσωση:

$\displaystyle{x^2 -(3a-4)x+2a^2 -3a <5}$

να έχει ακριβώς $\displaystyle{3}$ ακέραιες λύσεις.

abgd · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Φεβ 25, 2024 11:20 pm Να βρεθούν όλες οι ακέραιες τιμές του $\displaystyle{a}$ , ώστε η ανίσωση:

$\displaystyle{x^2 -(3a-4)x+2a^2 -3a <5}$

να έχει ακριβώς $\displaystyle{3}$ ακέραιες λύσεις.

Το τριώνυμο $\displaystyle{ \color{red}{x^2 -(3a+2)x +2a^2 +5a - 3}}$ έχει ρίζες τις $\displaystyle{ 2a-1, a+3}$ , και είναι αρνητικό, όπως θέλουμε, μεταξύ των ριζών του.

Μεταξύ δύο διαφορετικών ακεραίων αριθμών $\displaystyle{ k,m}$ υπάρχουν $\displaystyle{ |k-m|-1}$ ακέραιοι.

Άρα θα πρέπει: $\displaystyle{ |(2a-1)-(a+3)|-1=3\Leftrightarrow|a-4|=4\Leftrightarrow a=8 ,a=0}$

Edit: 1/3/2024 , 9.40

Διόρθωση.

Το τριώνυμο $\displaystyle{ x^2 -(3a-4)x +2a^2 -3a - 5}$ έχει ρίζες τις $\displaystyle{ 2a-5, a+1}$ , και είναι αρνητικό, όπως θέλουμε, μεταξύ των ριζών του.

Μεταξύ δύο διαφορετικών ακεραίων αριθμών $\displaystyle{ k,m}$ υπάρχουν $\displaystyle{ |k-m|-1}$ ακέραιοι.

Άρα θα πρέπει: $\displaystyle{ |(2a-5)-(a+1)|-1=3\Leftrightarrow|a-6|=4\Leftrightarrow a=10 ,a=2}$

#3

abgd έγραψε: Πέμ Φεβ 29, 2024 3:03 pm
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Φεβ 25, 2024 11:20 pm Να βρεθούν όλες οι ακέραιες τιμές του $\displaystyle{a}$ , ώστε η ανίσωση:

$\displaystyle{x^2 -(3a-4)x+2a^2 -3a <5}$

να έχει ακριβώς $\displaystyle{3}$ ακέραιες λύσεις.
Το τριώνυμο $\displaystyle{ x^2 -(3a+2)x +2a^2 +5a - 3}$ έχει ρίζες τις $\displaystyle{ 2a-1, a+3}$ , και είναι αρνητικό, όπως θέλουμε, μεταξύ των ριζών του.

Μεταξύ δύο διαφορετικών ακεραίων αριθμών $\displaystyle{ k,m}$ υπάρχουν $\displaystyle{ |k-m|-1}$ ακέραιοι.

Άρα θα πρέπει: $\displaystyle{ |(2a-1)-(a+3)|-1=3\Leftrightarrow|a-4|=4\Leftrightarrow a=8 ,a=0}$

Κώστα , σωστά ο τρόπος λύσης, αλλά υπάρχει μια απροσεξία: Το τριώνυμο που έγραψες είναι διαφορετικό από αυτό της εκφώνησης. (Από παραδρομή, πήρες το τριώνυμο που είχα γράψει στην παρόμοια άσκηση που έβαλα στον φάκελο των μαθηματικών διαγωνισμών, την οποία επίσης έλυσες με άριστο τρόπο).
Το αναφέρω για να μην μπερδευτεί όποιος μαθητής διαβάσει την λύση.

abgd · #4

Αααα! Δεν το πρόσεξα καθόλου Δημήτρη! Νόμιζα ότι είναι το ίδιο τριώνυμο και έκανα copy - paste.

Συγνώμη!.... θα το διορθώσω. Αύριο τώρα.

Ανίσωση με ακέραιες λύσεις

Ανίσωση με ακέραιες λύσεις

Re: Ανίσωση με ακέραιες λύσεις

Re: Ανίσωση με ακέραιες λύσεις

Re: Ανίσωση με ακέραιες λύσεις

Μέλη σε σύνδεση