Ομοτοπική ισοδυναμία καμπυλών

#1

Έστω η οικογένεια
$\displaystyle{\overrightarrow{c_{\alpha}}:[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^2\,;\;\; t\longmapsto\overrightarrow{c_{\alpha}}=\big({2(\alpha-\cos{t})\,\cos{t},\,2(\alpha-\cos{t})\,\sin{t}}\big)\,,\;\alpha\in\mathbb{R},}$
κλειστών παραμετρικών καμπυλών. Οι εικόνες τους $C_{\alpha}=\overrightarrow{c_{\alpha}}\big([0,2\pi]\big)$ θεωρούνται ως τοπολογικοί χώροι εφοδιασμένοι με την επαγόμενη τοπολογία του $\mathbb{R}^2$ .

Να βρεθούν οι τιμές του $\alpha$ για τις οποίες η $C_{\alpha}$ είναι ομοτοπικά ισοδύναμη με την $C_{0.5}$ .
Για τις καμπύλες $C_{\alpha}$ που είναι ομοτοπικά ισοδύναμες με την $C_{0.5}$ να δοθεί μια ομοτοπική ισοδυναμία.

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται

καμπύλες της οικογένειας $\{{C_{\alpha}}\}$ για $\alpha\in\{{0.5,0.6,1.0,0.3,1.3}\}$ .

: epicycloid_homotopy_small.png (45.76 KiB) Προβλήθηκε 2390 φορές

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Για την απάντηση του προβλήματος θα χρησιμοποιήσουμε μερικά αποτέλεσματα που απαριθμούνται στο παράρτημα που ακολουθεί τη λύση.

Για $\color{red}a=0$ έχουμε $\overrightarrow{c_a}(t)=(-1-\cos(2t),-\sin 2t)$ οπότε η C_a

είναι ο κύκλος κέντρου (-1,0)

και ακτίνας

.

Έστω $\color{red}a\ne0$ . Θέτουμε $f=\overrightarrow{c_a}$ , $X=[0,2\pi]$ , Y=C_a

, θεωρούμε στο

τη σχέση ισοδυναμίας $x_1\sim x_2\Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$ ενώ στο

ως ισοδυναμία θεωρούμε τη συνήθη ισότητα.

Για $\color{red}|a|\ge1$ με απλές πράξεις βρίσκουμε ότι f(x_1)=f(x_2)

$\Leftrightarrow x_1 = x_2 \vee \{x_1 ,x_2\}=\{0,2\pi\}$ . Η κανονική απεικόνιση (παράρτημα #1) $\bar{f}\colon [0,2\pi]/_{\{0\sim2\pi\}}\to C_a$ είναι επί, 1-1 και συνεχής. Ο χώρος $[0,2\pi]$ είναι συμπαγής, οπότε από το #4 έπεται ότι το πηλίκο $[0,2\pi]/_{\{0\sim2\pi\}}$ είναι επίσης συμπαγές. Ο C_a

ως υποχώρος του $\mathbb{R}^2$ είναι Hausdorff οπότε από το #5 έπεται ότι η $\bar{f}$ είναι ομοιομορφισμός. Κατά συνέπεια από το #8 έχουμε $C_a\cong S^1$

Για $\color{red}0<|a|<1$ παρομοίως έχουμε f(x_1)=f(x_2)

$\Leftrightarrow x_1=x_2 \vee \{x_1 ,x_2 \}=\{ 0,2\pi \} \vee \cos{x_1}=\cos{x_2}=a$ . Αν θεωρήσουμε ότι $0<t_1<t_2<2\pi$ , $\cos{t_1}=\cos{t_2}=a$ , η κανονική απεικόνιση (#1) $\bar{f}\colon [0,2\pi]/_{\{0\sim2\pi,t_1\sim t_2\}}\to C_a$ είναι επί, 1-1 και συνεχής. Ανάλογα με την προηγούμενη περίπτωση έπεται ότι $C_a \cong [0,2\pi]/_{\{0\sim 2\pi, {t_1} \sim {t_2}\}}$ και συνεπώς από το #9 έπεται $C_a\cong S^1 \vee S^1$

Ομοτοπικά ισοδύναμοι χώροι έχουν την ίδια θεμελιώδη ομάδα ενώ οι ομοιομορφικοί χώροι είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι.
Επειδή $\pi_1(S^1)= < \mathbb{Z},+ >$ ενώ $\pi_1(S^1\vee S^1)=F_{\{b,c\}}$ (η ελεύθερη ομάδα με δυο γεννήτορες https://en.wikipedia.org/wiki/Free_group) έπεται για τις ζητούμενες τιμές ότι $\color{blue}a\in(-1,1)-\{0\}$ .

Αυτό που απομένει είναι για $a\in(-1,1)-\{0\}$ να προσδιορίσουμε έναν ομοιομορφισμό μεταξύ C_a

και $C_{0.5}$ που θα είναι και ομοτοπική ισοδυναμία. Προς τούτο θεωρούμε:
$X=[0,2\pi]$ και τη σχέση ισοδυναμίας $0\sim 2\pi$ , $t_1\sim t_2$ (τα t_1,t_2

είναι όπως ορίστηκαν παραπάνω)
$Y=[0,2\pi]$ και τη σχέση ισοδυναμίας $0\sim 2\pi$ και $\frac{\pi}{6}\sim \frac{11\pi}{6}$ .

Σύμφωνα με το #7 η κανονική απεικόνιση που επάγει οποιοσδήποτε ομοιομορφισμός $f\colon[0,2\pi]\to[0,2\pi]$ με $x_1\sim x_2\Leftrightarrow f(x_1)\sim f(x_2)$ είναι επίσης ομοιομορφισμός $C_a\stackrel{\bar{f}}{\cong}C_{0.5}$

Κατά συνέπεια αρκεί να επιλέξουμε οποιαδήποτε συνεχή, γνησίως αύξουσα απεικόνιση $f\colon[0,2\pi]\to[0,2\pi]$ με $f(0)=0,f(2\pi)=2\pi, f(t_1)=\frac{\pi}{6},f(t_2)=\frac{11\pi}{6}$

Μια απλή επιλογή είναι η $f\colon[0,2\pi]\to[0,2\pi]$ με $f({\color{red}u})=\begin{cases}\frac{\pi {\color{red}u}}{6t_1}&0\le {\color{red}u}\le t_1\\\frac{5\pi {\color{red}u}}{-3(t_1-t_2)}+\frac{\pi}{6}\big(1+\frac{10t_1}{t_1-t_2}\big) &t_1 < {\color{red}u}\le t_2 \\ \frac{\pi {\color{red}u}}{6(2\pi-t_2)}+\frac{\pi}{3}\big(6+\frac{\pi}{t_2-2\pi}\big) &t_2 < {\color{red}u}\le2\pi\end{cases}$

Με τη βοήθεια της τελευταίας λαμβάνουμε εν τέλει έναν ομοιομορφισμό $\bar{f}\colon C_a\to C_{0.5}$ με $\bar{f}(\overrightarrow{c_a}(t))=\overrightarrow{c_{0.5}}(f(t))$ $\blacksquare$

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

#0. Καθ' όλη την έκταση της λύσης θεωρούνται σχέσεις ισοδυναμίας. Eλπίζοντας ότι δεν θα υπάρξει σύγχυση, όλες οι οριζόμενες σχέσεις θα συμβολίζονται με το ίδιο σύμβολο $\sim$ . Επίσης όταν λέμε "η σχέση ισοδυναμίας $p\sim q$ " θα αναφερόμαστε στην ελάχιστη σχέση που περιέχει το αναφερόμενο ζεύγος (ή ζεύγη).
#1. Αν έχουμε μια συνάρτηση $f\colon X\to Y$ και $\sim$ σχέσεις ισοδυναμίας στα X,Y

ώστε $x_1\sim x_2\Rightarrow f(x_1)\sim f(x_2)$ τότε η

ορίζει με κανονικό τρόπο τη συνάρτηση $\bar{f}\colon X/_{\sim}\ \to\ Y/_{\sim}$ (καθιστώντας αντιμεταθετικό το ακόλουθο διάγραμμα όπου $\pi_X$ , $\pi_Y$ είναι οι προβολές των σχέσεων, ήτοι $\pi_{\bullet}(x)=[x]$ )
$\begin{array}{ccc} X & \xrightarrow{f} & Y \\ \downarrow \pi_X & & \downarrow \pi_Y \\ X/_{\sim} & \xrightarrow{\bar{f}} & Y/_{\sim} \end{array}$
#2. Αν η

είναι επί, τότε η $\bar{f}$ είναι επίσης επί.
#3. Αν επιπλέον $f(x_1)\sim f(x_2)\Rightarrow x_1\sim x_2$ τότε η $\bar{f}$ είναι 1-1.

Έστω τώρα επιπλέον ότι τα X,Y

έχουν τοπολογία
#4. Αν ο $(X,\tau_X)$ είναι συμπαγής τότε και ο $(X/_{\sim},\tau_{X/_{\sim}})$ είναι συμπαγής (https://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(topology)). Aν επιπλέον το

είναι ένα κλειστό σύνολο του

και $x\sim y\Leftrightarrow (x\in A\wedge y\in A)$ $\vee x=y$ και ο

είναι Hausdorff τότε ο $X/_\sim$ είναι επίσης Hausdorff (https://math.stackexchange.com/question ... -hausdorff).
#5. Αν η $f\colon X\to Y$ είναι συνεχής, επί, 1-1, ο

είναι συμπαγής και ο

Hausdorff τότε η

είναι ομοιομορφισμός.
#6. Αν η $f\colon X\to Y$ είναι συνεχής και ορίζεται η $\bar{f}\colon X/_{\sim}\to Y/_{\sim}$ τότε η $\bar{f}$ θα είναι επίσης συνεχής.
#7. Αν η $f\colon X\to Y$ είναι ομοιομορφισμός και $x_1\sim x_2\Leftrightarrow f(x_1)\sim f(x_2)$ τότε η $\bar{f}$ είναι ομοιομορφισμός.

#8. Από τα #1-6 θεωρώντας τη συνεχή απεικόνιση $f\colon[0,2\pi]\to S^1$ με $f(t)=(\cos t,\sin t)$ και τη σχέση $x_1\sim x_2\Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$ στο $[0,2\pi]$ προκύπτει ότι $[0,2\pi]/{\{0\sim 2\pi\}}\cong S^1$ .
#9. Παρομοίως, με λίγο κόπο παραπάνω βρίσκουμε ότι για κάθε $t_1,t_2\in\mathbb{R}$ με $0<t_1<t_2<2\pi$ ισχύει $[0,2\pi]/_{\sim}\cong S^1\vee S^1$ όπου $\sim$ η σχέση $0\sim2\pi$ , $t_1\sim t_2$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Wedge_sum).

#3

Μετά την όμορφη λύση του Ιάσονα παραθέτω και την δική μου:

Για να χειριστούμε το πρόβλημα ευκολότερα, για $\alpha\in({-1,1})$ θεωρούμε την παρακάτω παραμετρικοποίηση των δοσμένων καμπυλών:

$\begin{aligned} \overrightarrow{r_{\alpha}}&:[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^2\,;\\ &t\longmapsto\overrightarrow{r_{\alpha}}(t)=\begin{pmatrix} 2\big({\alpha-\cos({t+\arccos{\alpha}})}\big)\,\cos({t+\arccos{\alpha}})\\ 2\big({\alpha-\cos({t+\arccos{\alpha}})}\big)\,\sin({t+\arccos{\alpha}}) \end{pmatrix} \end{aligned}$

Παρατηρούμε ότι οι εικόνες $C_{\alpha}$ είναι τέτοιες ώστε $\overrightarrow{r_{\alpha}}(0)=\overrightarrow{r_{\alpha}}(2\pi)=(0,0)$ . Επίσης, για κάθε $\alpha\in({-1,1})$ η καμπύλη $\overrightarrow{r_{\alpha}}$ κάνει δύο περιστροφές με σημείο τομής το (0,0)

. Ακόμα, για $\alpha=0$ η $\overrightarrow{r_{0}}$ έχει ως εικόνα τον κύκλο $C_{\alpha}$ με κέντρο το

και ακτίνα

. Τέλος, για $\alpha\in({-\infty,-1}]\cup [{1,+\infty})$ η $C_{\alpha}$ είναι απλή κλειστή καμπύλη.
Ισχυριζόμαστε ότι η $C_{\alpha}$ είναι ομοτοπικά ισοδύναμη με την $C_{0.5}$ , τότε και μόνο τότε αν $\alpha\in({-1,0})\cup({0,1})$ .

Κατ' αρχήν ισχυριζόμαστε ότι, για κάθε $\alpha\in({-\infty,-1}]\cup [{1,+\infty})$ , δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f_{\alpha}:C_{0.5}\longrightarrow C_{\alpha}$ . Πράγματι, αν υπήρχε τότε θα υπήρχε ανοικτό συνεκτικό σύνολο της $C_{\alpha}$ (δηλαδή ένα κομμάτι συνεχούς καμπύλης χωρίς αυτοτομές) τέτοιο ώστε $(0,0)\in f_{\alpha}^{-1}(A)$ με το $f_{\alpha}^{-1}(A)$ να είναι ανοικτό και συνεκτικό της $C_{0.5}$ . Κάτι που δεν μπορεί να ισχύει αφού το είναι σημείο τομής της $C_{0.5}$ , δηλαδή για κάθε ανοικτή μπάλα $B_{\varepsilon}(0,0)$ η τομή $B_{\varepsilon}(0,0)\cap C_{0.5}$ περιέχει δύο τμήματα της καμπύλης $\overrightarrow{c_{0.5}}$ .
Με παρόμοιο τρόπο όπως παραπάνω, μπορούμε να δικαιολογήσουμε το ότι η $C_{0}$ δεν είναι ομοτοπικά ισοδύναμη με την $C_{0.5}$ .
Τέλος, για $\alpha\in({-1,0})\cup({0,1})$ , παρατηρούμε ότι οι απεικονίσεις $f_{\alpha}:C_{0.5}\longrightarrow C_{\alpha}$ με

$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 2\big({0.5-\cos({t+\arccos{0.5}})}\big)\,\cos({t+\arccos{0.5}})\\ 2\big({0.5-\cos({t+\arccos{0.5}})}\big)\,\sin({t+\arccos{0.5}}) \end{pmatrix} \longmapsto\\ &\hspace{1.5cm} f_{\alpha}\big({x(t),y(t)}\big)=\begin{pmatrix} 2\big({\alpha-\cos({t+\arccos{\alpha}})}\big)\,\cos({t+\arccos{\alpha}})\\ 2\big({\alpha-\cos({t+\arccos{\alpha}})}\big)\,\sin({t+\arccos{\alpha}}) \end{pmatrix}\,,\;t\in[0,2\pi)\,, \end{aligned}$
και $g_{\alpha}:C_{\alpha}\longrightarrow C_{0.5}$ με

$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 2\big({\alpha-\cos({t+\arccos{\alpha}})}\big)\,\cos({t+\arccos{\alpha}})\\ 2\big({\alpha-\cos({t+\arccos{\alpha}})}\big)\,\sin({t+\arccos{\alpha}}) \end{pmatrix}\longmapsto\\ &\hspace{1.5cm} g_{\alpha}\big({u(t),v(t)}\big)=\begin{pmatrix} 2\big({0.5-\cos({t+\arccos{0.5}})}\big)\,\cos({t+\arccos{0.5}})\\ 2\big({0.5-\cos({t+\arccos{0.5}})}\big)\,\sin({t+\arccos{0.5}}) \end{pmatrix}\,,\;t\in[0,2\pi)\,, \end{aligned}$

είναι συνεχείς* -αρκεί να παρατηρήσουμε ότι $f_{\alpha}(0,0)=(0,0)$ και $g_{\alpha}(0,0)=(0,0)$ - με $f_{\alpha}\circ g_{\alpha}={\rm{id}}_{C_{\alpha}}$ και $g_{\alpha}\circ f_{\alpha}={\rm{id}}_{C_{0.5}}$ . Συνεπώς, για κάθε $\alpha\in({-1,0})\cup({0,1})$ , το ζεύγος $({f_{\alpha}, g_{\alpha}})$ είναι μια ισοδυναμία ομοτοπίας.

(*) Στην πραγματικότητα είναι ομοιομορφισμοί με $f^{-1}_{\alpha}= g_{\alpha}$ .

#4

grigkost έγραψε: Δευ Απρ 15, 2024 7:48 am

Κατ' αρχήν ισχυριζόμαστε ότι, για κάθε $\alpha\in({-\infty,-1}]\cup [{1,+\infty})$ , δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f_{\alpha}:C_{0.5}\longrightarrow C_{\alpha}$ . Πράγματι, αν υπήρχε τότε θα υπήρχε ανοικτό συνεκτικό σύνολο της $C_{\alpha}$ (δηλαδή ένα κομμάτι συνεχούς καμπύλης χωρίς αυτοτομές) τέτοιο ώστε $(0,0)\in f_{\alpha}^{-1}(A)$ με το $f_{\alpha}^{-1}(A)$ να είναι ανοικτό και συνεκτικό της $C_{0.5}$ . Κάτι που δεν μπορεί να ισχύει αφού το είναι σημείο τομής της $C_{0.5}$ , δηλαδή για κάθε ανοικτή μπάλα $B_{\varepsilon}(0,0)$ η τομή $B_{\varepsilon}(0,0)\cap C_{0.5}$ περιέχει δύο τμήματα της καμπύλης $\overrightarrow{c_{0.5}}$ .

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η απαιτούμενη συνεχής συνάρτηση $f_{\alpha}:C_{0.5}\longrightarrow C_{\alpha}$ , η οποία ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχει.

: f_a_continuous_map.png (24.78 KiB) Προβλήθηκε 2142 φορές

Ομοτοπική ισοδυναμία καμπυλών

Ομοτοπική ισοδυναμία καμπυλών

Re: Ομοτοπική ισοδυναμία καμπυλών

Re: Ομοτοπική ισοδυναμία καμπυλών

Re: Ομοτοπική ισοδυναμία καμπυλών

Μέλη σε σύνδεση