Διαφορά πολλαπλάσιο του 5

#1

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{7^{3^{29}} - 8}$

διαιρείται με το $\displaystyle{5}$

S.E.Louridas · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Τετ Μαρ 20, 2024 8:48 am Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
$\displaystyle{7^{3^{29}} - 8}$ διαιρείται με το $\displaystyle{5}$

Καλημέρα Δημήτρη.

Μία τελείως απλή στοιχειώδης άποψη στηριζόμενη στο διώνυμο του Newton:

${7^{{3^{29}}}} - 8 = {7^{{3^{29}}}} - {2^{{3^{29}}}} + {2^{{3^{29}}}} - {2^3} = 5v + {2^3}\left( {{2^{{3^{29}} - 3}} - 1} \right)\;\left( 1 \right).$
${3^{29}} - 3 = 3\left( {{3^{28}} - 1} \right) = 6\left( {{3^{27}} - 1 + ... + 3 - 1 + 26} \right) = 4 \cdot 3t\;\left( 2\right).$
Με βάση την $\left( 2 \right)$ παίρνουμε
${2^3}\left( {{2^{{3^{29}} - 3}} - 1} \right) = 8\left( {{2^{12t}} - 1} \right) = 8\left( {{{16}^{3t}} - 1} \right) = 15u\;\left( 3 \right).$
Τώρα από τις $\left( 1 \right),\;\left( 3 \right)$ έχουμε το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Τα περιττά πολλαπλάσια του 3 διαιρούμενα με 4 δίνουν υπόλοιπο 3.
Ευκολο. (4k+3)9=4m+3

Ετσι η δύναμη του 7 λήγει σε 3. 7,7^2=49,7^3=63,7^4=***1

Εχουμε τελευταίο ψηφίο του αριθμού 5.
Διαιρείται με 5.

#4

Ωραία. Είδαμε δύο τρόπους λύσεις.
Γράφω και έναν ακόμα, που μπορεί να διδαχθεί σε παιδιά Γ Γυμνασίου:
Έχουμε:

$\displaystyle{3^{29}=3^{28}.3 =(3^4 )^7 .3 = 81^7 .3}$

Ο αριθμός $\displaystyle{81^7}$ λήγει σε $\displaystyle{1}$ , άρα ο αριθμός $\displaystyle{81^7 . 3}$ λήγει σε $\displaystyle{3}$ . Συνεπώς $\displaystyle{3^{29}= 10k+3}$ , $\displaystyle{k\in N}$

Άρα $\displaystyle{3^{29} - 3 = 10k \Rightarrow 3(3^{28}-1)=10k \Rightarrow 3(3^{14}-1)(3^{14}+1)=10k}$ , (1)

Οι αριθμοί όμως $\displaystyle{3^{14}-1}$ και $\displaystyle{3^{14}+1}$ είναι άρτιοι και άρα $\displaystyle{3^{14}-1=2m }$ και $\displaystyle{3^{14}+1=2n}$ , όπου $\displaystyle{m ,n \in N}$
Έτσι η (1) γράφεται: $\displaystyle{3.2m .2n =10k \Rightarrow mn=\frac{5}{6} .k}$

και αφού ο $\displaystyle{mn}$ είναι αριθμός φυσικός, άρα πρέπει $\displaystyle{k=6.t}$ , με $\displaystyle{t\in N}$

Άρα έχουμε: $\displaystyle{3^{29}=10.6t +3\Rightarrow 3^{29}=60t+3}$

Συνεπώς :

$\displaystyle{7^{3^{29}} = 7^{60t+3}=7^{60t}.7^3 =(7^4 )^{15t} . 343 }$

Όμως ο αριθμός $\displaystyle{7^4 }$ λήγει σε $\displaystyle{1}$ , άρα και ο $\displaystyle{(7^4 )^{15t}}$ θα λήγει επίσης σε $\displaystyle{1}$ και άρα ο $\displaystyle{(7^4 )^{15τ}.343 }$ λήγει σε $\displaystyle{3}$

Καταλήξαμε λοιπόν, ότι ο αριθμός $\displaystyle{7^{3^{29}}}$ λήγει σε $\displaystyle{3}$ , άρα ο $\displaystyle{7^{3^{29}} -8}$ λήγει σε $\displaystyle{5}$ και άρα διαιρείται με το $\displaystyle{5}$

Διαφορά πολλαπλάσιο του 5

Διαφορά πολλαπλάσιο του 5

Re: Διαφορά πολλαπλάσιο του 5

Re: Διαφορά πολλαπλάσιο του 5

Re: Διαφορά πολλαπλάσιο του 5

Μέλη σε σύνδεση