Συμμετρια (Προς Αποδ.)

papel · #1

Εστω $\displaystyle{f:R \to R}$ συναρτηση συνεχης και το σημειο $\displaystyle{A(\gamma ,\delta )}$ το κεντρο συμμετριας του

γραφηματος της συναρτησης. Να υπολογισετε το ολοκληρωμα :

$\displaystyle{\int\limits_0^{2 \cdot \gamma } {f(t)dt} }$

(Τα γ,δ θεωρουνται γνωστα, 2γ ειναι το ανω οριο ολοκληρωσης).

#2

Το ότι το σημείο $(\gamma,\delta)$ είναι το κέντρο συμμετρίας του γραφήματος της συνάρτησης

δίνει ότι

$2\delta=f(\gamma+x)+f(\gamma-x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R} \ \ (1)$

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής από

σε $\gamma - u$ στο δοσμένο ολοκλήρωμα

, βρίσκουμε ότι

$I=\displaystyle \int_{-\gamma}^{\gamma}f(\gamma-u)du \ \ (2)$

ενώ κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής από

σε $\gamma+u$ στο δοσμένο ολοκλήρωμα

, βρίσκουμε ότι

$I=\displaystyle \int_{-\gamma}^{\gamma}f(\gamma+u)du \ \ (3)$

Προσθέτοντας τις (2), (3)

και χρησιμοποιώντας την (1)

παίρνουμε τελικά ότι

$2I=\displaystyle\int_{-\gamma}^{\gamma} 2\delta du= 4\gamma\delta$

Άρα $\boxed{I=2\gamma\delta}$

Αλέξανδρος

mathxl · #3

Ειδική περίπτωση για δ=0 το θέμα που έδωσε ο Θωμάς εδώ viewtopic.php?f=54&t=6952.

Συμμετρια (Προς Αποδ.)

Συμμετρια (Προς Αποδ.)

Re: Συμμετρια

Re: Συμμετρια

Μέλη σε σύνδεση