ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

G.Tsikaloudakis · #1

Παραθέτω ένα από τα πολλά διαγωνίσματα μου ,Γεωμετρίας
(για βοήθεια και μπούσουλα, στους μαθητές μας)
Είναι λίγο δύσκολο το γράψιμο και ο χρονος μας περιορισμένος)
Στο μέλλον σκοπεύω να παρουσιάσω κατι καλό (από συγγραφικής μεριάς)
στη Γεωμετρία.
Πρέπει όμως να δώσουμε σκληρή μάχη , ώστε η Ευλείδεια Γεωμετρία
να πάρει τη θέση που της αξίζει στο Ελληνικό Σχολείο .
Αντί οι νέοι μας να ''μαθαίνουν ''το Θ.Fermat'' θα ήταν σοφότερο να
γνωρίζουν τα Θεωρήματα του Ευκλείδη.
ΘΕΜΑ Α
Α1: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάμεσος του.
αν $\displaystyle{\hat A = 90^o }$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ AM = \frac{{B\Gamma }}{2}}$ και αντίστροφα:
Αν $\displaystyle{ AM = \frac{{B\Gamma }}{2}}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ \hat A = 90^o }$
Α2. Να γράψετε αν είναι σωστή ή λάθος η πρόταση:
1. Κάθε τετράπλευρο με ίσες διαγωνίους είνι ορθογώνιο.
2. Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με $\displaystyle{a = 2\mu _\alpha }$ είναι ορθογώνιο.
3. Κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΓ=ΒΔ και $\displaystyle{ {\rm A}\Gamma \bot {\rm B}\Delta }$ είναι τετράγωνο.
4. Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με $\displaystyle{\delta _\alpha = \mu _\alpha }$ είναι
ισοσκελές.
5. Κάθε τριγωνο ΑΒΓ με $\displaystyle{\beta = \mu _\alpha = \frac{\alpha }{2}}$
έχει $\displaystyle{\hat {\rm B} = 30^o }$ .

ΘΕΜΑ Β.
Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ=ΑΓ . Έστω ακόμα ΒΔ το
ύψος του και Ε, Ζ τα μεσα των ΑΒ , ΒΓ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
Β1: $\displaystyle{ \Gamma \hat {\rm B}\Delta = \frac{{\hat {\rm A}}}{2} }$
Β2. ΕΖ=ΕΔ
Β3. η ΕΖ είναι μεσοκάθετος του ΒΔ.
ΘΕΜΑ Γ.
Έστω ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο και Δ το μέσο του ΒΓ.
Η κάθετη από το Δ στην ΑΓ τέμνει την ΑΓ στο Ε και την ΑΒ στο
Ζ. Να αποδείξετε ότι:
Γ1. ΒΔ=ΒΖ
Γ2. ΑΕ= $\displaystyle{\frac{3}{4}{\rm A}{\rm B}}$
Γ3. ΑΔ=ΔΖ.

ΘΕΜΑ Δ.

Έστω σημείο Ε της πλευράς ΒΓ τετραγώνου ΑΒΓΔ, τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{\widehat{{\rm B}{\rm A}{\rm E}} = 30^o }$ .
Η κάθετη στην ΑΕ , στο Ε , τ΄μνει τηνΓΔ στο Η και την ΑΔ στο
Ζ. Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} {\rm{\Delta }}_{\rm{1}} {\rm{ : }}{\rm A}{\rm E} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{2} \\ \Delta _2 :{\rm{ {\rm B}}}{\rm E} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{4} \\ \Delta _3 :{\rm{ {\rm E}{\rm Z} = 2{\rm A}{\rm B}}} \\ \end{array} }$

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Που είναι το διαγώνισμα?

G.Tsikaloudakis · #3

Μην βιάζεσαι . Ψήνεται!!!

G.Tsikaloudakis · #4

καλή σας μέρα.
Δεν βλέπω σχόλια για το διγώνισμα.
Αν δεν άρεσε , να το αποσσύρω.
Δέστε όμως το Δ΄ ΘΕΜΑ (είναι νομίζω μια ώραία άσκηση ,στο τετράγωνο, δικιάς μου κατασκευής)

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #5

Καλημέρα . Γιώργο μη το παίρνεις προσωπικά . Πολλές φορές πέφτουν μαζεμένα θέματα και κάποια ξεχνιούνται . Μεσολάβησε και Σ-Κ . Άφησέ το και θα το δούμε με την ησυχία μας

Eukleidis · #6

Σιγουρα είναι σωστό το Θέμα Δ

?

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #7

Ναι Γιώργο μήπως στο α είναι ΕΖ αντί ΑΕ ;

G.Tsikaloudakis · #8

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Ναι Γιώργο μήπως στο α είναι ΕΖ αντί ΑΕ ;

Στο Δ θέμα έχει γίνει λάθος σε ένα γράμμα :
Το σωστό είναι:
Η κάθετη στην ΑΕ στο Ε τέμνει την ΑΔ (και όχι ΑΒ) στο Ζ ....
Ευχαρηστώ , Χρηστο.
Έγινε η διόρθωση.
Βλέπεις εμείς οι παλιοί δεν χειριζόμαστε εύκολα τις νεές τεχνολογίες
(και τα λάθη είναι αναπόφευκτα)

Eukleidis · #9

Το 4ο είναι όντως ωραίο θέμα. Και γενικά όλο το διαγώνισμα έχει ενδιαφέρουσες ασκήσεις.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #10

Η άσκηση Δ είναι αφιέρωμα στις 30 μοίρες ...

: 1k.png (76.5 KiB) Προβλήθηκε 3852 φορές

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #11

Νίκο - Αλέξανδρε help πως μικραίνει ;
Ευχαριστώ

#12

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Νίκο - Αλέξανδρε help πως μικραίνει ;

Χρήστο πρέπει να είναι έτοιμες στις διαστάσεις οι εικόνες από πριν.
'Ισως είναι χρήσιμο το παρακάτω
viewtopic.php?f=37&p=426#p426
Μαυρογιάννης

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #13

Ο.Κ ευχαριστώ Νίκο τα μελέτησα . Η αφομοίωση θα φανεί βέβαια στην επόμενη σχηματική δημοσίευσή μου ...

NiSmO · #14

Συγγνώμη αλλά θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε το παρακάτω;
"Αντί οι νέοι μας να ''μαθαίνουν ''το Θ.Fermat'' θα ήταν σοφότερο να
γνωρίζουν τα Θεωρήματα του Ευκλείδη."

Μάκης Χατζόπουλος · #15

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Η άσκηση Δ είναι αφιέρωμα στις 30 μοίρες ...
1k.png

Χρήστο δίνω άλλη μια λύση για το γ ερώτημα,

Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΔΕ είναι όμοια (δύο γωνίες ίσες) οπότε οι λόγοι των πλευρών του είναι ίσοι, δηλ.

$\displaystyle{ \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm E}{\rm Z}}} = \lambda }$

ο λόγος ομοιότητας είναι 1/2 γιατί, $\displaystyle{ \lambda = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot {\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} = \frac{1}{2} }$ από το ερώτημα Δ1 οπότε $\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm E}{\rm Z}}} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm Z} = 2 \cdot {\rm A}{\rm B} }$

#16

Κοιτάζω αυτή τη στιγμούλα σε ένα διάλειμμα μεταξύ δύο επιτηρήσεων το τέταρτο θέμα. Γλυκό και ανθρώπινο !

Για το Δ.Δ3(κόλησε και ο Γιώργος τον ιό των πανελλαδικών με τα Α,Β,Γ,Δ

) μπορούμε επίσης να πούμε ότι :

ΕΗ = 2 ΗΓ και ΗΖ = 2ΔΗ, οπότε ΕΖ = 2(ΗΓ + ΗΔ) = 2 ΓΔ = 2ΑΒ.

Πιθανόν και ο Γιώργος για το λόγο αυτό να έδωσε το σημείο Η στην εκφώνηση, μια και πουθενά δεν αναφέρεται ξανά στα ζητούμενα.

Για να σας πω την αμαρτία μου και γω στο 4ο θέμα βάζω πάντα στα πρωτάκια ένα πονηρούτσικο ερώτημα , μερικές φορές λίγο πιο δυσκολο από αυτό, έτσι για να ..τιμούμε κάπως αυτό το περίφημο μάθημα που λέγεται Γεωμετρία και που νοιώθω πως είναι το καλύτερο και διδακτικότερο μάθημα που διδάσκεται στα σχολεία, εδώ και αιώνες !

Μπάμπης

G.Tsikaloudakis · #17

Καλησπέρα σας.
Αυτήν ακριβώς τη λύση είχα υπ΄όψην μου και εγώ , φίλε Μπάμπη,
όταν εφτιαξα το ερώτημα Δ3. Γι΄αυτό ακριβώς έδωσα το Η.
Συμφωνώ απόλυτα μαζί σου για την αξία της Γεωμερίας ,στην εκπαίδευση
και όχι μόνο. Είναι νομίζω, το κατεξοχήν μάθημα : αναπτυξής και σωστής
διατύπωσης των σκέψεων.
Πολλοί , καλοί μαθητές , δυσκολεύοται ακόμη και σε εύκολα ερωτήματα.
Γι΄αυτό , πολλά φταίνε νομίζω.
Πολύ καλές και οι άλλες λύσεις (τα όμοια τρίγωνα βέβαια είναι παρακάτω
στην ύλη).

.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ά'

Μέλη σε σύνδεση