Εξίσωση

mick7 · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς

$(x-2)^3-(x-2)^2+2x=x\sqrt{x}+\sqrt{x}+2$

KARKAR · #2

Προφανώς : x>0

(το

δεν είναι ρίζα ) . Θέτοντας : $\sqrt{x}=y>0$ , κάνοντας τις πράξεις

καταλήγουμε στην : y^6-7y^4-y^3+18y^2-y-14=0

, η οποία κατά τα γνωστά

είναι ισοδύναμη με την : (y-2)(y+1)(y^4+y^3-4y^2-3y+7)=0

.

Αυτή έχει ρίζα την : y=2

, οπότε :

. Απομένει να δειχθεί ότι για y>0

το πολυώνυμο : y^4+y^3-4y^2-3y+7=(y^2-2)^2+y^3-3y+3

, είναι θετικό ,

πράγμα αληθές αφού : $y^3-3y+3\geq 1 , \forall y>0$ .

#3

Γράφουμε

$(x-2)^3-(x-2)^2+x-2=(\sqrt{x})^3-(\sqrt{x})^2+\sqrt{x}$

Η συνάρτηση x^3-x^2+x

έχει παράγωγο 3x^2-2 x+1>0

κ.λπ.

mick7 · #4

Βάζω και το σχετικό γράφημα