Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου

KARKAR · #1

: Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου.png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 2129 φορές

$\bigstar$ Η ευθεία

εφάπτεται της καμπύλης . Υπολογίστε το εμβαδόν του γαλάζιου χωρίου .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 30, 2024 10:41 am Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου.png $\bigstar$ Η ευθεία εφάπτεται της καμπύλης . Υπολογίστε το εμβαδόν του γαλάζιου χωρίου .

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\displaystyle E = (ABS) - \int_0^a {\frac{{ax}}{{a + x}}} dx$

: Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου.Κ.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 2030 φορές

$\displaystyle y - \frac{a}{2} = \frac{1}{4}(x - a) \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x + \frac{a}{4},$ οπότε $BA=2a, AS=\dfrac{a}{2}$ και $(ABS)=\dfrac{a^2}{2}.$

$\displaystyle \frac{{ax}}{{a + x}} = a - \frac{{{a^2}}}{{a + x}} = {\left( {ax - {a^2}\ln (a + x)} \right)^\prime } \Rightarrow \int_0^a {\frac{{ax}}{{a + x}}} dx = \left[ {ax - {a^2}\ln (a + x)} \right]_0^a$

$\displaystyle \int_0^a {\frac{{ax}}{{a + x}}} dx = {a^2}\left( {1 - \ln 2} \right)$ και τελικά $\boxed{E = {a^2}\left( {\ln 2 - \frac{1}{2}} \right)}$

Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου

Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση