Να ολοκληρώσει κανείς ή να μην ολοκληρώσει...

[Venizelos]

Ένα ωραίο θέμα που λύνεται με αρκετούς τρόπους!


Βρείτε με οποιονδήποτε τρόπο τη συνάρτηση που ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις για :



Να θεωρήσετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη στο . Ωστόσο εμείς αναζητάμε λύσεις μόνον για .

[Mihalis_Lambrou]

Ένα ωραίο θέμα που λύνεται με αρκετούς τρόπους!


Βρείτε με οποιονδήποτε τρόπο τη συνάρτηση που ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις για :



Να θεωρήσετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη στο . Ωστόσο εμείς αναζητάμε λύσεις μόνον για .

Όταν πρωτομαθαίνει κανείς παραγώγους βρίσκει ότι , το οποίο πάντα συνοδεύεται από το σχόλιο "δηλαδή είναι παράγωγος του εαυτού της". Οπότε η απάντηση είναι έτοιμη και προφανής.

Ίσως δεν έχω κατανοήσει τι πραγματικά θέλει να ζητήσει η άσκηση, πέρα από κοινή γνώση.

[Venizelos]

Ένα ωραίο θέμα που λύνεται με αρκετούς τρόπους!


Βρείτε με οποιονδήποτε τρόπο τη συνάρτηση που ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις για :



Να θεωρήσετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη στο . Ωστόσο εμείς αναζητάμε λύσεις μόνον για .

Όταν πρωτομαθαίνει κανείς παραγώγους βρίσκει ότι , το οποίο πάντα συνοδεύεται από το σχόλιο "δηλαδή είναι παράγωγος του εαυτού της". Οπότε η απάντηση είναι έτοιμη και προφανής.

Ίσως δεν έχω κατανοήσει τι πραγματικά θέλει να ζητήσει η άσκηση, πέρα από κοινή γνώση.

Σωστή η απάντησή σας και ευχαριστώ. Αν δεν δινόταν το , νομίζω πως θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε συνάρτηση μορφής , διότι .

Επίσης, θεωρώντας μια συνάρτηση , για την οποία ισχύει , σύμφωνα με τους κανόνες παραγώγισης καταλήγουμε πως:

.

Άρα, θεωρητικά υπάρχουν περισσότερες συναρτήσεις που ικανοποιούν αυτή τη σχέση.

Εγώ αυτό που "ήθελα να δω" έναν σχηματισμό ισοδύναμης ολοκληρωτικής εξίσωσης, σύμφωνα με το πρόβλημα αρχικών τιμών, σύμφωνα με το (λίγο εκτός Γ' Λυκείου) θεώρημα Picard-Lindelof:

.


Η συγκεκριμένη (βασική) άσκηση βρίσκεται και στο Κεφάλαιο 1 του βιβλίου Ολοκληρωτικές Εξισώσεις του κυρίου Ντούγια, εκδ. Συμμετρία.

Αν έχω κάνει κάποιο λάθος ζητώ συγγνώμη εκ των προτέρων.

[Mihalis_Lambrou]

Η συγκεκριμένη (βασική) άσκηση βρίσκεται και στο Κεφάλαιο 1 του βιβλίου Ολοκληρωτικές Εξισώσεις του κυρίου Ντούγια, εκδ. Συμμετρία.

Όχι μόνο. Η εύρεση των συναρτήσεων με για κάθε βρίσκεται σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού και επίσης όλα τα βιβλία Διαφορικών Εξισώσεων. Γι' αυτό στο αρχικό μου μήνυμα έγραψα ότι πρόκειται για "κοινή γνώση".

Πάντως εύγε σου που διαβάζεις βιβλία πολύ πέρα από την ηλικία σου. Συνέχισε.

[Venizelos]

Η συγκεκριμένη (βασική) άσκηση βρίσκεται και στο Κεφάλαιο 1 του βιβλίου Ολοκληρωτικές Εξισώσεις του κυρίου Ντούγια, εκδ. Συμμετρία.

Όχι μόνο. Η εύρεση των συναρτήσεων με για κάθε βρίσκεται σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού και επίσης όλα τα βιβλία Διαφορικών Εξισώσεων. Γι' αυτό στο αρχικό μου μήνυμα έγραψα ότι πρόκειται για "κοινή γνώση".

Πάντως εύγε σου που διαβάζεις βιβλία πολύ πέρα από την ηλικία σου. Συνέχισε.

Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια κύριε Λάμπρου! Θα συνεχίσω να ανεβάζω διάφορες ασκήσεις και κάποια προβλήματα Γ' Λυκείου, Διαγωνισμών και υψηλότερου επιπέδου.