Κριτήριο διχοτόμησης

#1

: Κριτήριο διχοτόμησης.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 981 φορές

Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου ABC

εφάπτεται των AC, AB

στα

αντίστοιχα και M, N

είναι

τα μέσα των BC, AB.

Αν οι

τέμνονται στο

να δείξετε ότι η

διχοτομεί τη γωνία $B\widehat CA.$

S.E.Louridas · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2024 11:00 am
Κριτήριο διχοτόμησης.png
Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου εφάπτεται των στα αντίστοιχα και είναι
τα μέσα των Αν οι τέμνονται στο να δείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία $B\widehat CA.$

Αν θεωρήσουμε το παραλληλόγραμμο SMCT,

τότε με βάση το ότι

$\displaystyle{AF = AE \Rightarrow NS = NF = \frac{c}{2} - FB = \frac{c}{2} - \left( {\tau - b} \right) = \frac{{b - a}}{2},}$

παίρνουμε $\displaystyle{SM =NM-NS = \frac{b}{2} - \frac{{b - a}}{2} = \frac{a}{2} = MC,}$

οπότε το παραλληλόγραμμο SMCT

είναι ρόμβος που σημαίνει ότι η διαγώνιος του

διχοτομεί την γωνία του $\angle TCM= \angle ACB.$

: dihot.png (46.28 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2024 11:00 am
Κριτήριο διχοτόμησης.png
Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου εφάπτεται των στα αντίστοιχα και είναι

τα μέσα των Αν οι τέμνονται στο να δείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία $B\widehat CA.$

Αγνοώ προσωρινά την ευθεία

και θεωρώ

το σημείο τομής της ευθείας ,

με την

.

: κρητήριο παραλληλία_extra_1.png (27.94 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

Προφανώς $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}} = 90^\circ - \dfrac{A}{2}$ . Επειδή $\widehat {BIC} = 90^\circ + \dfrac{A}{2}$ αναγκαστικά : $\boxed{\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}}$ .

Άμεση συνέπεια , το τετράπλευρο SBIF

είναι εγγράψιμο, οπότε το $\vartriangle SBC$ είναι ορθογώνιο στο

.

Αν φέρω τώρα σ αυτό το τρίγωνο την διάμεσο

θα είναι :
.

: κρητήριο παραλληλία_extra_2.png (30.72 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

.
$\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{\theta _1}}$ και άρα SM//AC

και έτσι η ( διάμεσος προς την υποτείνουσα ),

θα διέρχεται από το μέσο

της

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2024 11:00 am
Κριτήριο διχοτόμησης.png
Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου εφάπτεται των στα αντίστοιχα και είναι

τα μέσα των Αν οι τέμνονται στο να δείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία $B\widehat CA.$

Αν

το συμπέρασμα προκύπτει εύκολα. Έστω b>c

Η διχοτόμος της γωνίας

τέμνει την

στο

οπότε

άρα $BK \bot AK$ συνεπώς

BK=KT

και προφανώς οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα FSKB

ισοσκελές τραπέζιο όπως και το FETB

Έτσι

και $\dfrac{CZ}{ZB}. \dfrac{BK}{KT}. \dfrac{ET}{EC}= \dfrac{EC}{ET}.1. \dfrac{ET}{EC}=1 \Rightarrow E,K,Z$

συνευθειακά και προφανώς οι μπλε γωνίες είναι ίσες

Επομένως $MK=MZ \Rightarrow MK+KS=MZ+ZB \Rightarrow MS=MB=MC \Rightarrow \angle SCM= \theta$

και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: κριτήριο διχοτόμησης.png (33.76 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Κριτήριο διχοτόμησης

Κριτήριο διχοτόμησης

Re: Κριτήριο διχοτόμησης

Re: Κριτήριο διχοτόμησης

Re: Κριτήριο διχοτόμησης

Μέλη σε σύνδεση