Παραλληλία και καθετότητα

KARKAR · #1

: Παραλληλία και καθετότητα.png (19.32 KiB) Προβλήθηκε 1619 φορές

$\bigstar$ Ο κύκλος (K)

διέρχεται από το κέντρο και τα σημεία A , S

μεγαλύτερου κύκλου (O)

.

Η

ξανατέμνει τον (O)

στο σημείο

, ενώ η

τέμνει τον (K)

στο σημείο

.

Δείξτε ότι : $PS \parallel OA$ και : $OT \perp AP$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 30, 2024 10:41 am Παραλληλία και καθετότητα.png $\bigstar$ Ο κύκλος διέρχεται από το κέντρο και τα σημεία μεγαλύτερου κύκλου .

Η ξανατέμνει τον στο σημείο , ενώ η τέμνει τον στο σημείο .

Δείξτε ότι : $PS \parallel OA$ και : $OT \perp AP$ .

Η άσκηση στην κατασκευή της ξεκινά από ένα ευθύγραμμο τμήμα

και σημείο

πάνω στη μεσοκάθετο του .

Γράφω τον μεταβλητό ( κόκκινο) κύκλο, $\left( {K,KA} \right)$ . Μετά γράφω νέο κύκλο (γαλάζιο) , $\left( {O,OA} \right)$ .

Θέλω ο κύκλος αυτός να μην εφάπτεται (εσωτερικά ) με τον πρώτο και άρα τον τέμνει σε ένα ακόμη σημείο , το

.

Συμπληρώνω το σχήμα , όπως προβλέπει η εκφώνηση με τα σημεία , $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

: Παραλληλία και Καθετότητα.png (28.74 KiB) Προβλήθηκε 1557 φορές

Επειδή

( ακτίνες του μικρού ) το

θα ανήκει και στη μεσοκάθετο του

και άρα, $OA//TS\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Το τετράπλευρο TSAO

είναι εγγεγραμμένο ισοσκελές τραπέζιο.

Επειδή KO = KT

το

ανήκει στην μεσοκάθετο του

. Αφού σε ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιοι είναι ίσες θα έχω :

AT = OS = AO

. Έτσι και το

ανήκει στη μεσοκάθετο του

. Αλλά το

έχει μοναδική μεσοκάθετο .

Αναγκαστικά επομένως η $\overline {AKP}$ είναι μεσοκάθετος στο

.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 30, 2024 10:41 am Παραλληλία και καθετότητα.png $\bigstar$ Ο κύκλος διέρχεται από το κέντρο και τα σημεία μεγαλύτερου κύκλου .

Η ξανατέμνει τον στο σημείο , ενώ η τέμνει τον στο σημείο .

Δείξτε ότι : $PS \parallel OA$ και : $OT \perp AP$ .

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον κύκλο (K).

Είναι λοιπόν, $OB\bot OA.$ Από το ισοσκελές OAP

και τις

εγγεγραμμένες γωνίες στον κύκλο (K)

προκύπτει ότι οι πράσινες γωνίες είναι ίσες. Ομοίως από το ισοσκελές OPS

και το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABST

και οι πορτοκαλί γωνίες είναι ίσες.

: Παραλληλία από καθετότητα.png (21.99 KiB) Προβλήθηκε 1551 φορές

Άρα, $OB\bot PS,$ δηλαδή $\boxed{PS||OA}$ Επομένως $O\widehat AP=A\widehat PS,$ δηλαδή κάθε πορτοκαλί γωνία είναι ίση

με κάθε πράσινη, που σημαίνει ότι το OATP

είναι ρόμβος και κατά συνέπεια $\boxed{OT\bot AP}$

Παραλληλία και καθετότητα

Παραλληλία και καθετότητα

Re: Παραλληλία και καθετότητα

Re: Παραλληλία και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση