AΣKHΣH 750 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω την άλυτη άσκηση 750 της σελίδας 262 από το έργο του Σ.Κανέλλου ''ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ''.

Σε τετράεδρο OABC

η στερεά γωνία

είναι τρισορθογώνιος και OA=1,OB=2,OC=3.

Yπολογίστε τη δίεδρη γωνία των επιπέδων OAB

και

S.E.Louridas · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Κυρ Ιουν 09, 2024 4:13 pm Σας προτείνω την άλυτη άσκηση 750 της σελίδας 262 από το έργο του Σ.Κανέλλου ''ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ''.
Σε τετράεδρο η στερεά γωνία είναι τρισορθογώνιος και
Yπολογίστε τη δίεδρη γωνία των επιπέδων και

Με την ειλικρινή ευχή η επόμενη μέρα να είναι ΕΙΛΙΚΡΙΝΑ καλή για τη πατρίδα.

Παρατηρούμε με βάση το θεώρημα των τριών καθέτων ότι $OD \bot AB \Rightarrow CD \bot AB.$

Αν ονομάσουμε $\theta = \angle CDO,\;h = OD,\;x = CD$ παρατηρούμε τα εξής:

$\displaystyle{\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow {h^2} = \frac{4}{5} \Rightarrow h = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}}$

επίσης έχουμε ${x^2} = O{C^2} + {h^2} \Rightarrow ... \Rightarrow x = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$

Με βάση τον νόμο του συνημιτόνου στο τρίγωνο DCO

τελικά προκύπτει

$\displaystyle{\cos \theta = \frac{2}{7} \Rightarrow$ $\theta = {Arcos} \frac{2}{7},}$ … ,

αν βέβαια δεν μου έχει ξεφύγει κάτι στις πράξεις.

: Aqwe.png (34.4 KiB) Προβλήθηκε 2220 φορές

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Έστω

,

$\vec{u}=\overrightarrow{CA}=\{1,0,-3\}$ , $\vec{w}=\overrightarrow{CB}=\{0,2,-3\}$
Θεωρούμε το κάθετο στο επίπεδο (ABC)

διάνυσμα $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{w}=\{6,3,2\}$

και το κάθετο στο επίπεδο (OAB)

διάνυσμα $\vec{e_3}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OC}=\{0,0,1\}$

Υπολογίζουμε τη γωνία $\phi$ των διανυσμάτων $\vec{e_3}$ και $\vec{n}$

$\cos\phi= \frac{\vec{e_3}\cdot \vec{n}}{|\vec{e_3}| \cdot |\vec{n}|}}=\frac{2}{7}$

οπότε η ζητούμενη γωνία είναι ίση με τη $\phi \approx {73.4}^o$ $\blacksquare$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Σωτήρη, δεν ξέφυγε κάτι, αυτή είναι η απάντηση στην οποία κατέληξα.
Η γωνία που ζητείται είναι περίπου $73^{0}24'.$

#5

Στο σχήμα είναι $A\widehat OB=90^\circ,$ άρα $AB=\sqrt 5.$ Είναι ακόμα, $OD\bot AB,$ οπότε $CD\bot AB.$

Η $\theta$ είναι λοιπόν η αντίστοιχη επίπεδη της ζητούμενης δίεδρης γωνίας.

: Τριγωνομετρία-750-Κανέλλος.png (9.55 KiB) Προβλήθηκε 2125 φορές

$\displaystyle (OAB) = 1 = \frac{1}{2}AB\cdot OD \Leftrightarrow OD = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$ και $\displaystyle \tan \theta = \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2},$ κ.λπ.

AΣKHΣH 750 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ

AΣKHΣH 750 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ

Re: AΣKHΣH 750 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ

Re: AΣKHΣH 750 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ

Re: AΣKHΣH 750 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ

Re: AΣKHΣH 750 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ

Μέλη σε σύνδεση