Τριγωνομετρική εξίσωση

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle{\sin \left( {{{45}^ \circ } + x} \right) \cdot \sin {15^ \circ } = \sin x \cdot \sin {30^ \circ }}$

όταν $\displaystyle{x\; \in \;\left( {\;0\;,\;\frac{\pi }{2}\;} \right)}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Προφανής λύση η $x=30^{\circ}$ .

Από κει και πέρα η δοσμένη μετασχηματίζεται ως εξής:

$\sin{(45^{\circ}+x)}\sin{15^{\circ}}-2\sin{x}\sin{15^{\circ}}\cos{15^{\circ}}=0 \Leftrightarrow$

$\sin{15^{\circ}}\left( \sin{(45^{\circ}+x)}-2\sin{x}\cos{15^{\circ}} \right)=0 \Leftrightarrow$

$\sin{(45^{\circ}+x)}-2\sin{x}\cos{15^{\circ}}=0 \Leftrightarrow$

$\sin{45^{\circ}}\cos{x}+\sin{x}(\cos{45^{\circ}}-2\cos{15^{\circ}})=0$

Όμως είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι $\cos{45^{\circ}}-2\cos{15^{\circ}}<0$ (π.χ. με ύψωση στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας τον τύπο αποτετραγωνισμού), οπότε πλέον η συνάρτηση

$f(x)=\sin{45^{\circ}}\cos{x}+\sin{x}(\sin{45^{\circ}}-2\cos{15^{\circ}})$ είναι εύκολο να αποδειχθεί (κατασκευαστικά και όχι με τη βοήθεια παραγώγων) ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\left( 0,\frac{\pi }{2} \right)$ οπότε έχει το πολύ μία λύση.

Άρα τελικά μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η $\boxed{x=30^{\circ}}$ .

Αλέξανδρος

#3

Μία πιο σχολική λύση:

Η εξίσωση γράφεται

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x +\cos x) \sin 15^{0}=\sin x \cdot 2 \sin 15^{0}\cos 15^{0}$ ή

$1+\cot x =2 \sqrt{2} \cos 15^{0}$
Επειδή $\cos 15^{0}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$ , και επειδή $\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}$ η εξίσωση γράφεται

$\cot x =\sqrt{3}$ άρα $x=30^{0}$ .

#4

Και μια ακόμα, ευθεία λύση, σχεδόν σχολική (ας πούμε σχολική πριν 10ετία, οι τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοί είναι πλέον εκτός ύλης).

$\displaystyle \begin{array}{l} 2\eta \mu \left( {45^\circ + x} \right) \cdot \eta \mu 15^\circ = 2\eta \mu x \cdot \eta \mu 30^\circ \;\; \Leftrightarrow \;\; \\ \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {30^\circ + x} \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {60^\circ + x} \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {x - 30^\circ } \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {30^\circ + x} \right) \\ \end{array}$

$\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \left( {30^\circ + x} \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {60^\circ + x} \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {x - 30^\circ } \right) \\ \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu 30^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu x - 2\eta \mu 30^\circ \cdot \eta \mu x = \sigma \upsilon \nu 60^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu x - \eta \mu 60^\circ \cdot \eta \mu x + \\ + \sigma \upsilon \nu 30^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu x + \eta \mu 30^\circ \cdot \eta \mu x \\ \end{array}$

$\displaystyle \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{2} \cdot \eta \mu x\;\; \Leftrightarrow \;\;\varepsilon \phi x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{3 - \sqrt 3 }} = ... = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Στο (0, 90°) είναι x = 30°.

Γιώργος Ρίζος

Σε 49 λεπτά τρεις διαφορετικές λύσεις! Trigonometry is alive...

Τριγωνομετρική εξίσωση

Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση