Πανελλήνιες 2023 Δ1,Δ2 spin-off

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Για τα

και τη συνάρτηση

που αναφέρονται στο θέμα Δ των πανελληνίων εξετάσεων του 2023
(ειδικότερα στα δυο πρώτα ερωτήματα Δ1 και Δ2)
https://drive.google.com/file/d/1fPIm_o ... dDxey/view
να αποδείξετε τα ακόλουθα:

#1. $x_2>\dfrac{5}{3}$

#2. $x_1\ge 2-\sqrt{3}$

#3. Να αποδείξετε ότι $\dfrac{2}{x_1x_2}>1+\dfrac{\ln x_2-\ln x_1}{x_2-x_1}$

#2

Είναι $\displaystyle{f(x)=\ln(2-x)-\frac{1}{x}+3,\;x\in(0,2).}$ Ας θυμηθούμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1]

και γνησίως φθίνουσα στο [1,2)

με

1. $\displaystyle{f(2-\sqrt3)=\ln\sqrt3+1-\sqrt3<0=f(x_1)}$ (διότι $\ln x\leq x-1$ με την ισότητα μόνο στο 1), οπότε λόγω της μονοτονίας της

στο

προκύπτει $x_1>2-\sqrt3.$

2. $\displaystyle{f(\dfrac{5}{3})=2.4-\ln3>0=f(x_2)}$ οπότε λόγω της μονοτονίας της

στο

προκύπτει $x_2>\dfrac{5}{3}.$

3. Αρκεί να δείξουμε ότι $2\left(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right)>x_2-x_1+\ln x_2-\ln x_1.$ (1)

Η

είναι θετική στο (x_1, x_2)

οπότε $\displaystyle{\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt>0.}$ Μια αρχική της

είναι η $G(x)=-(2-x)\ln (2-x)-\ln x +2x.$ Aν λάβουμε υπ΄ όψιν ότι $\ln (2-x_1)=\dfrac{1}{x_1}-3$ και $\ln (2-x_2)=\dfrac{1}{x_2}-3$ τότε εύκολα
$\displaystyle{\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt=G(x_2)-G(x_1)=2\left(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right)-(x_2-x_1+\ln x_2-\ln x_1)>0$ και η (1) αποδείχθηκε.

Πανελλήνιες 2023 Δ1,Δ2 spin-off

Πανελλήνιες 2023 Δ1,Δ2 spin-off

Re: Πανελλήνιες 2023 Δ1,Δ2 spin-off

Μέλη σε σύνδεση