Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

sakis1963 · #1

: 2024.07.20 rectangle mathematica.jpg (53.05 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Εστω

, σημείο της πλευράς

ορθογωνίου ABCD

(με

)

Η παράλληλη της

από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την

στο

a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών : (FAE)+(EDC)=(CBF)

b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του

στην

, ώστε $CE \perp FE$

S.E.Louridas · #2

sakis1963 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 1:35 pm Έστω , σημείο της πλευράς ορθογωνίου (με )
Η παράλληλη της από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την στο
a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών :
b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του στην , ώστε $CE \perp FE$

Για το πρώτο:
Αν λάβουμε υπόψη ότι τρίγωνα μα ίσα ύψη και ίσες βάσεις είναι ισοδύναμα, τότε αρκεί να αποδείξουμε ότι:

$\left( {ALE} \right) + \left( {EDC} \right) = \left( {LBC} \right) \Leftrightarrow \left( {ADC} \right) - \left( {ELC} \right) = \left( {LBC} \right),$

αρκεί να ισχύει $\left( {ADC} \right) = \left( {EBC} \right),$ που ισχύει.

Για το δεύτερο:
Αρκεί να κατασκευάσουμε κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα

.

#3

sakis1963 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 1:35 pm Εστω , σημείο της πλευράς ορθογωνίου (με )

Η παράλληλη της από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την στο

a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών :

b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του στην , ώστε $CE \perp FE$

Λύση μόνο του πρώτου μέρους. Έχω λύση και του δεύτερου μέρους αλλά έχει πολλή πληκτρολόγιση καθώς χρειάζεται τρεις φορές ομοιότητα τριγώνων. Θα γράψω λύση εκτός αν με προλάβουν. Για την ώρα ελπίζω να βρω οικονομικότερο τρόπο από αυτόν που έχω τώρα κατά νου.

Λόγω παραλληλίας το ζητούμενο ισοδυναμεί με το να δείξουμε οτι τα δύο κόκκινα εμβαδά μαζί είναι ίσα με το γαλάζιο, με σύμβολα (LAE)+(EDC)=(CBL)

. Αλλά αυτό είναι άμεσο γιατί αν προσθέσουμε το κίτρινο χωρίο στο καθένα προκύπτουν τα ίσα εμβαδά (ACD), (EBC)

(και τα δύο είναι ίσα με το μισό του αρχικού ορθογωνίου). Τελειώσαμε.

Με πρόλαβε ο Σωτήρης. Το αφήνω για τον κόπο.
.

Pi3.1415 · #4

S.E.Louridas έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 4:05 pm
sakis1963 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 1:35 pm Έστω , σημείο της πλευράς ορθογωνίου (με )
Η παράλληλη της από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την στο
a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών :
b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του στην , ώστε $CE \perp FE$
Για το δεύτερο:
Αρκεί να κατασκευάσουμε κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα .

Καλησπέρα, μπορείτε να μου εξηγήσετε γιατί μπορούμε να κατασκευάσουμε το ημικύκλιο αυτό παρόλο που το F ορίζεται με την βοήθεια του E;

STOPJOHN · #5

sakis1963 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 1:35 pm 2024.07.20 rectangle mathematica.jpg
Εστω , σημείο της πλευράς ορθογωνίου (με )

Η παράλληλη της από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την στο

a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών :

b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του στην , ώστε $CE \perp FE$

Απάντηση στη κατασκευή

Ο κύκλος (B,a)

τέμνει την

στο σημείο

Αν $L=BE\bigcap AC,FL//BC$ Θα αποδείξω ότι $\hat{FEC}=90^{0}$

Πράγματι απο το α) ερωτημα είναι y(2a-x)=ab-xb,(1)

και απο το τρίγωνο $ABE,x=a-\sqrt{a^{2}-b^{2}},$ ,όπου ED=x,AF=y

Απλά υπολογίζεται ότι

$FE^{2}+EC^{2}=\dfrac{2a^{3}}{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}},(3), FC^{2}=\dfrac{2a^{3}}{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}},(4) (3),(4)\Rightarrow \hat{FEC}=90^{0}$

S.E.Louridas · #6

Pi3.1415 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 5:51 pm Καλησπέρα, μπορείτε να μου εξηγήσετε γιατί μπορούμε να κατασκευάσουμε το ημικύκλιο αυτό παρόλο που το F ορίζεται με την βοήθεια του E;

Δεν μπορώ να σας εξηγήσω γιατί ... για λίγο έδρασα ως ... έφηβος και βιάστηκα.
Καμμιά φορά συμβαίνουν και αυτά στις ζωντανές αναρτήσεις ... συγγνώμη.
Σας υπόσχομαι ότι θα προσπαθήσω αλλιώς.

S.E.Louridas · #7

S.E.Louridas έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 4:05 pm
sakis1963 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 1:35 pm Έστω , σημείο της πλευράς ορθογωνίου (με )
Η παράλληλη της από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την στο
a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών :
b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του στην , ώστε $CE \perp FE$
Για το πρώτο ερώτημα:
Αν λάβουμε υπόψη ότι τρίγωνα μα ίσα ύψη και ίσες βάσεις είναι ισοδύναμα, τότε αρκεί να αποδείξουμε ότι:

$\left( {ALE} \right) + \left( {EDC} \right) = \left( {LBC} \right) \Leftrightarrow \left( {ADC} \right) - \left( {ELC} \right) = \left( {LBC} \right),$

αρκεί να ισχύει $\left( {ADC} \right) = \left( {EBC} \right),$ που ισχύει.

Pi3.1415 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 5:51 pm Καλησπέρα, μπορείτε να μου εξηγήσετε γιατί μπορούμε να κατασκευάσουμε το ημικύκλιο αυτό παρόλο που το F ορίζεται με την βοήθεια του E;

Δεν μπορώ να σας εξηγήσω γιατί ... για λίγο έδρασα ως ... έφηβος και βιάστηκα.
Καμμιά φορά συμβαίνουν και αυτά στις ζωντανές αναρτήσεις ... συγγνώμη.
Σας υπόσχομαι ότι θα προσπαθήσω αλλιώς.

Υλοποίηση υπόσχεσης για τον κατασκευαστικό προσδιορισμό του

Για το δεύτερο λοιπόν ερώτημα:

Κάνοντας Ανάλυση γνωρίζουμε ότι FL=LT.

Όμως η γωνία $\angle FET$ είναι ορθή,

οπότε $LE=LT \Rightarrow BE=BC$ και έτσι οδηγούμαστε άμεσα στην κατασκευή του

: Kal.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

#8

sakis1963 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 1:35 pm 2024.07.20 rectangle mathematica.jpg
Εστω , σημείο της πλευράς ορθογωνίου (με )

Η παράλληλη της από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την στο

a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών :

b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του στην , ώστε $CE \perp FE$

Το πρώτο ερώτημα έχει απαντηθεί πολύ όμορφα ( μάλιστα του κ. Λάμπρου έχει και ωραίο σχήμα )

Για το β) με γεωμετρική ανάλυση :

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Θέτω $BC = a\,\,,\,\,AN = b\,\,,\,\,a > b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = x\,\,,\,\,AF = y$ . Τα έγχρωμα τρίγωνα είναι όμοια .

Ταυτόχρονα θα έχω : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{DC}}{{DE}} \hfill \\ \frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{BC}}{{BF}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{y} = \frac{b}{{a - x}} \hfill \\ \frac{x}{y} = \frac{a}{{b - y}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο_b_Ανάλυση.png (23.2 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Διώχνω το

μεταξύ τους και έχω : $\boxed{x = \sqrt {{a^2} - {b^2}} }$ , Η γεωμετρική κατασκευή του

είναι γνωστή σε όλους τους μαθητές .

Ο κύκλος $\left( {A,\sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)$ τέμνει την

στο

.

Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Re: Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Re: Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Re: Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Re: Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Re: Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Re: Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Re: Ισότητα εμβαδών σε ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση