Ένα όριο!

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{-n^2} \left [ \left ( n+1 \right ) \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \left ( n + \frac{1}{2^2} \right ) \cdots \left ( n + \frac{1}{2^{n-1}} \right ) \right ]^n}$
Δεν έχω λύση ...

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Ιούλ 27, 2024 10:36 am Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{-n^2} \left [ \left ( n+1 \right ) \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \left ( n + \frac{1}{2^2} \right ) \cdots \left ( n + \frac{1}{2^{n-1}} \right ) \right ]^n}$
Δεν έχω λύση ...

Υπόδειξη: Η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{\left [ \left ( 1+\frac {1}{n} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{2n} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{2^2n} \right ) \cdots \left ( 1 + \frac{1}{2^{n-1}n} \right ) \right ]^n}$

Πάρε τώρα λογάριθμο. Στον κάθε προσθετέο χρησιμοποίησε ότι $\log (1+x) = x+ O(x^2)$ . Θα σου χρειαστεί και η $\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty } \frac {1}{2^k} = 2}$

neutonas · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 27, 2024 10:58 am
Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Ιούλ 27, 2024 10:36 am Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{-n^2} \left [ \left ( n+1 \right ) \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \left ( n + \frac{1}{2^2} \right ) \cdots \left ( n + \frac{1}{2^{n-1}} \right ) \right ]^n}$
Δεν έχω λύση ...
Υπόδειξη: Η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{\left [ \left ( 1+\frac {1}{n} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{2n} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{2^2n} \right ) \cdots \left ( 1 + \frac{1}{2^{n-1}n} \right ) \right ]^n}$

Πάρε τώρα λογάριθμο. Στον κάθε προσθετέο χρησιμοποίησε ότι $\log (1+x) = x+ O(x^2)$ . Θα σου χρειαστεί και η $\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty } \frac {1}{2^k} = 2}$

$\displaystyle \ell = \lim_{n \to \infty} n^{-n^2} \left[ \prod_{k=0}^{n-1} \left( n + \frac{1}{2^k} \right) \right]^n = \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=0}^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{n \,2^k} \right) \right]^n$

$\displaystyle \Rightarrow \ln \ell = \lim_{n \to \infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \ln \left( 1 + \frac{1}{n \,2^k} \right) = \lim_{n \to \infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{n \, 2^k} + O\left(\frac{1}{n^2} \right) \right)$

$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \, \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2 \Rightarrow \ell = e^2$

Ένα όριο!

Ένα όριο!

Re: Ένα όριο!

Re: Ένα όριο!

Μέλη σε σύνδεση