Ζάρια

#1

Ρίχνουμε ένα ζάρι και προσθέτουμε τους πέντε ορατούς αριθμούς. Επαναλαμβάνουμε αυτή την διαδικασία όσες φορές θέλουμε, και στο τέλος προσθέτουμε όλα τα αθροίσματα που βρήκαμε. Ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός που δεν μπορεί να προκύψει ως το τελικό αυτό άθροισμα;

abfx · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2024 11:03 am Ρίχνουμε ένα ζάρι και προσθέτουμε τους πέντε ορατούς αριθμούς. Επαναλαμβάνουμε αυτή την διαδικασία όσες φορές θέλουμε, και στο τέλος προσθέτουμε όλα τα αθροίσματα που βρήκαμε. Ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός που δεν μπορεί να προκύψει ως το τελικό αυτό άθροισμα;

Σε κάθε ζαριά, τα δυνατά αθροίσματα που καταγράφουμε είναι: 15,16,17,18,19,20

, δηλαδή από το

, το άθροισμα όλων των πλευρών του ζαριού, αφαιρούμε από

ως

ανάλογα με την κάτω πλευρά. Έτσι, οι αριθμοί που μπορούν να προκύψουν ως τελικό άθροισμα είναι όλοι της μορφής $15a_1+\ldots +20 a_6$ όπου $a_1,\ldots ,a_6 \geq 0$ ακέραιοι με θετικό άθροισμα.

Θα δείξουμε ότι ο μέγιστος αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί στην παραπάνω μορφή είναι το

.

Βήμα 1: Το

δεν μπορεί να προκύψει ως τελικό άθροισμα.

Πράγματι, αν $a_1+\ldots +a_6\geq 3$ , τότε $15a_1+\ldots +20 a_6\geq 15(a_1+\ldots +a_6)\geq 45$

ενώ αν $a_1+\ldots +a_6\leq 2$ , τότε $15a_1+\ldots +20 a_6\leq 20(a_1+\ldots +a_6)\leq 40$ .

Βήμα 2: Αν $a,k \in \mathbb Z^+$ ώστε $15k \leq a <20k$ , τότε ο

είναι πιθανό τελικό άθροισμα.

Πράγματι, έστω a=15k+m

, όπου $m=0,1,\ldots , 5k-1$ . Γράφουμε

m=5q+r

, όπου $q=0,1,\ldots , k-1$ και $r=0,1,\ldots ,4$ . Τότε έχουμε

a=15k+5q+r=15(k-q-1)+20q+(15+r)

και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Βήμα 3: Αν $a\geq 45$ , τότε ο

είναι πιθανό τελικό άθροισμα.

Πράγματι, έστω $a\geq 45$ . Θα υπάρχει $k\geq 3$ τέτοιο ώστε $15k\leq a <15(k+1)$ . Αλλά

$k\geq 3 \implies 20k\geq 15(k+1)$ οπότε $a<15(k+1)\leq 20k$ .

Άρα, από Βήμα 2 έχουμε το ζητούμενο.

#3

Σωστά, αλλά υπάρχει πολύ απλούστερη λύση, προσιτή σε μαθητές Δημοτικού. Θα την γράψω μετά από εύλογο διάστημα, αν χρειαστεί.

Ζάρια

Ζάρια

Re: Ζάρια

Re: Ζάρια

Μέλη σε σύνδεση