Πολυώνυμο και Πολυωνυμική συνάρτηση

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Με αφορμή αυτό
viewtopic.php?f=35&t=76330&sid=454dfbfe ... 8094d9733c

Για οποιοδήποτε σώμα $\mathbb{F}$ ορίζεται ο τελεστής $\Phi\colon \mathbb{F}[X]\to \mathbb{F}^\mathbb{F}$

από τον δακτύλιο των πολυωνύμων με συντελεστές από το σώμα $\mathbb{F}$ στο σύνολο των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το $\mathbb{F}$

με $\Phi(P)\colon\mathbb{F}\to \mathbb{F}$

και $\Phi(P)(s)=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_ns^n$

όπου $P=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$

Το $\Phi(P)$ είναι η πολυωνυμική συνάρτηση που επάγεται από το πολυώνυμο

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ
Να εξεταστεί για ποια σώματα $\mathbb{F}$ ακριβώς ο $\Phi$ είναι 1-1

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Ορίζουμε ως πολυώνυμα με στοιχεία από το σώμα $\mathbb{F}$ τις ακολουθίες $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ στοιχείων του $\mathbb{F}$ των οποίων όλοι οι όροι με την εξαίρεση πεπερασμένου πλήθους είναι ίσοι με το μηδέν.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Τα πολυώνυμα συχνά τα ταυτίζουμε με τις πολυωνυμικές συναρτήσεις που επάγουν. Ωστόσο δεν πρόκειται για ταυτόσημες έννοιες. Το ζητούμενο της παρούσας ανάρτησης είναι να εξεταστεί πότε ακριβώς αυτή η ταύτιση είναι επιτρεπτή για την ειδική περίπτωση που το $\mathbb{F}$ είναι ένα σώμα.

Την διάκριση μεταξύ πολυωνύμων και πολυωνυμικών συναρτήσεων μπορεί κανείς να την εντοπίσει και στα σχολικά βιβλία. Για παράδειγμα στο σχολικό βιβλίο της Β λυκείου δυο πολυώνυμα λέγονται ίσα όταν έχουν ίδιους συντελεστές. Αυτός ο ορισμός ισότητας σημαίνει ότι το βιβλίο αντιμετωπίζει τα πολυώνυμα σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε παραπάνω. Εκεί επίσης γίνεται διάκριση με τη συνθήκη δύο πολυώνυμα να έχουν τις ίδιες τιμές ενώ σημειώνεται ότι (για πραγματικούς συντελεστές) αν δύο πολυώνυμα έχουν τις ίδιες τιμές τότε είναι ίσα.

http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... ex4_1.html

#2

Θα δείξουμε ότι αυτό ισχύει αν και μόνο αν το $\mathbb{F}$ είναι άπειρο.

Αν το $\mathbb{F}$ είναι πεπερασμένο, έστω $\mathbb{F} = \{a_1,\ldots,a_n \}$ , τότε έχουμε $\Phi((X-a_1) \cdots (X-a_n)) = \Phi(0)$ και ο τελεστής δεν είναι 1-1.

Έστω τώρα ότι το $\mathbb{F}$ είναι άπειρο και έστω προς άτοπο ότι $\Phi(P) = \Phi(Q)$ για κάποια πολυώνυμα $P \neq Q$ . Τότε $\Phi(R) = \Phi(0)$ , όπου $R \neq 0$ . Έστω

το σώμα ριζών του

. Τότε $R = C(X-a_1) \cdots (X-a_n)$ για κάποια $C \in \mathbb{F} \setminus \{0\}$ και $a_1,\ldots,a_n \in L$ . Όμως το

ως επέκταση του $\mathbb{F}$ είναι άπειρο και άρα υπάρχει $a \in L \setminus \{a_1,\ldots,a_n\}$ . Αφού το

είναι σώμα, τότε $(\Phi(R))(a) \neq 0$ , άτοπο.

Σημείωση: Υπάρχει απόδειξη που αποφεύγει τη γνώση της ύπαρξης σώματος ριζών για κάθε πολυώνυμο.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Δημήτρη, μόνο ένα παρόραμα:

"το $\mathbb{F}$ είναι άπειρο και άρα υπάρχει $a \in \mathbb{F}\setminus \{a_1,\ldots,a_n\}$ "

#1. Να εξηγηθεί πως η απόδειξη στο δεύτερο ποστ μπορεί να γενικευθεί για την περίπτωση που το $\mathbb{F}$ είναι ένας άπειρος αντιμεταθετικός δακτύλιος χωρίς διαιρέτες του μηδενός του οποίου ο πολλαπλασιασμός δεν έχει απαραίτητα ουδέτερο στοιχείο.

#2. Να δοθεί ένα παράδειγμα απείρου αντιμεταθετικού δακτυλίου στη βάση του οποίου ο $\Phi$ δεν είναι 1-1. Σε αυτή την περίπτωση θα έχουμε ένα μη μηδενικό πολυώνυμο το οποίο θα λαμβάνει μόνο το μηδέν για τιμή.

Πολυώνυμο και Πολυωνυμική συνάρτηση

Πολυώνυμο και Πολυωνυμική συνάρτηση

Re: Πολυώνυμο και Πολυωνυμική συνάρτηση

Re: Πολυώνυμο και Πολυωνυμική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση