Ικανή συνθήκη

KARKAR · #1

Έστω : $x \in (0 , \pi/2)$ . α) ( σοβαρό ) Αν : $\tan x =2$ , υπολογίστε την : $\tan(\dfrac{x}{2})$

β) Αν $\tan x$ , είναι ρητός της μορφής : $\dfrac{p}{q} ,( p , q \in \mathbb{N^*} )$ , βρείτε μια ικανή συνθήκη ,

ώστε ο αριθμός $\tan(\dfrac{x}{2})$ , να είναι επίσης ρητός !

γ) Υπάρχει περίπτωση οι : $\tan x , \tan(\dfrac{x}{2})$ , να είναι αμφότεροι ακέραιοι ;

Βέβαιος ότι θα υποστώ κριτική για την επιλογή του συγκεκριμένου φακέλου

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Σεπ 20, 2024 7:25 am Έστω : $x \in (0 , \pi/2)$ . α) ( σοβαρό ) Αν : $\tan x =2$ , υπολογίστε την : $\tan(\dfrac{x}{2})$

β) Αν $\tan x$ , είναι ρητός της μορφής : $\dfrac{p}{q} ,( p , q \in \mathbb{N^*} )$ , βρείτε μια ικανή συνθήκη ,

ώστε ο αριθμός $\tan(\dfrac{x}{2})$ , να είναι επίσης ρητός !

γ) Υπάρχει περίπτωση οι : $\tan x , \tan(\dfrac{x}{2})$ , να είναι αμφότεροι ακέραιοι ;

Βέβαιος ότι θα υποστώ κριτική για την επιλογή του συγκεκριμένου φακέλου

α) O τύπος της διπλής γωνίας δίνει $\dfrac {2t}{1-t^2} = 2$ , όπου $t=\tan(\dfrac{x}{2})$ . Λύνοντας την δευτεροβάθμια θα βρούμε $t= \frac{1}{2}(-1\pm\sqrt 5)$ . Για το πρώτο τεταρτημόριο δεκτή μόνο η θετική.

β) Όμοια, η $\dfrac {2t}{1-t^2} = \dfrac {p}{q}$ δίνει την δευτεροβάθμια pt^2+2qt-p=0

. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ρητή η ρίζα είναι η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο. Έπεται ότι p^2+q^2=r^2

για κάποιο $r\in \mathbb N$ . Με άλλα λόγια η (p,q,r)

είναι Πυθαγόρεια τριάδα. Ενδιαφέρον.

γ) Ειδικά για p=n, q=1

θα απαιτούσε το n^2+1

να είναι τέλειο τετράγωνο, που δεν γίνεται αφού είναι μεταξύ δύο διαδοχικών τελείων τετραγώνων.

#3

Πιο σύντομα για το (γ) (χωρίς τα προηγούμενα): $\displaystyle x \in (0,\pi/2) \implies x/2 \in (0,\pi/4) \implies \tan(x/2) \in (0,1)$

#4

Για το γ), έτσι κι αλλιώς ο αριθμός $\displaystyle \tan \frac{x}{2}$ δεν μπορεί να είναι ακέραιος, αφού $\displaystyle \frac{x}{2} \in \left( {0,\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow 0 < \tan \frac{x}{2} < 1$

Με πρόλαβε ο Δημήτρης.

Ικανή συνθήκη

Ικανή συνθήκη

Re: Ικανή συνθήκη

Re: Ικανή συνθήκη

Re: Ικανή συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση