Είπες πλευρές τριγώνου; Μα πώς;

#1

Έχουμε πέντε ευθύγραμμα τμήματα με μήκη a<b<c<d<e

. O Ευκλείδης ορκιζόταν ότι υπάρχει μόνο μία τριάδα από αυτά που δεν μπορούν να είναι πλευρές τριγώνου. Βέβαια, ο Ευκλείδης ήξερε και το μήκος του κάθε τμήματος, αλλά εμείς δεν τα ξέρουμε.
Ποια είναι η τριάδα του Ευκλείδη; Βρείτε ποια είναι τα ευθύγραμμα τμήματα και αφήστε τα μήκη τους.

abgd · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Οκτ 11, 2024 11:02 am Έχουμε πέντε ευθύγραμμα τμήματα με μήκη . O Ευκλείδης ορκιζόταν ότι υπάρχει μόνο μία τριάδα από αυτά που δεν μπορούν να είναι πλευρές τριγώνου. Βέβαια, ο Ευκλείδης ήξερε και το μήκος του κάθε τμήματος, αλλά εμείς δεν τα ξέρουμε.
Ποια είναι η τριάδα του Ευκλείδη; Βρείτε ποια είναι τα ευθύγραμμα τμήματα και αφήστε τα μήκη τους.

Μια τριάδα θετικών αριθμών δεν είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν το άθροισμα των δύο μικρότερων αριθμών είναι μικρότερο ή ίσο του τρίτου.

Αν από τις δέκα τριάδες που δημιουργούν οι πέντε αριθμοί, υποθέσουμε ότι η ζητούμενη μοναδική τριάδα είναι x_1, x_2, x_3

με

, στην οποία υπάρχει κάποιος

μικρότερος του x_2

και διαφορετικός του x_1

τότε: $x_1+x_2\leq x_3<x_1+y \Rightarrow x_2<y$ άτοπο.

Έτσι, η ζητούμενη τριάδα θα είναι μία από τις (a,b,c), (a,b,d), (a,b,e)

.

Η τριάδα (a,b,c)

απορρίπτεται γιατί διαφορετικά θα είχαμε $d<a+b\leq c$

Η τριάδα (a,b,d)

απορρίπτεται γιατί διαφορετικά θα είχαμε $e<a+b\leq d$

Άρα η ζητούμενη τριάδα είναι η (a,b,e)

Είπες πλευρές τριγώνου; Μα πώς;

Είπες πλευρές τριγώνου; Μα πώς;

Re: Είπες πλευρές τριγώνου; Μα πώς;

Μέλη σε σύνδεση