Αντίπαλες εφαπτόμενες

KARKAR · #1

: Αντίπαλες εφαπτόμενες.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Τα

, είναι τα σημεία επαφής του εγκύκλου του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, με τις πλευρές

AB , AC , BC

, αντίστοιχα . Αν : $\tan\theta =\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε την : $\tan\omega$ . Προαιρετικά γενικεύστε .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 19, 2024 12:09 pm Αντίπαλες εφαπτόμενες.pngΤα , είναι τα σημεία επαφής του εγκύκλου του ορθογωνίου τριγώνου , με τις πλευρές

, αντίστοιχα . Αν : $\tan\theta =\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε την : $\tan\omega$ . Προαιρετικά γενικεύστε .

Αν

το κέντρο του κύκλου (δηλαδή το έγκεντρο του τριγώνου), έχουμε $\omega = \frac {1}{2} \angle TKP$ το οποίο από το εγγράψιμο KTBP

είναι ίσο με $\frac {1}{2} (180 - \theta )$ . Άρα

$\displaystyle{\tan \omega = \tan \left (90 - \dfrac {1}{2} \theta \right ) = \dfrac { 1}{\tan (\frac {1}{2}\theta ) }= \dfrac {1}{t} }$

όπου το $t= \tan \left (\frac {1}{2}\theta \right )$ ικανοποιεί (τύπος μισής γωνίας)

$\displaystyle{\dfrac {2t}{1-t^2} = \tan \theta = \dfrac {3}{4}}$ . Λύνοντας έχουμε $t = \frac {1}{3}$ . Τελικά $\tan \omega = 3$ .

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 19, 2024 12:09 pm Αντίπαλες εφαπτόμενες.pngΤα , είναι τα σημεία επαφής του εγκύκλου του ορθογωνίου τριγώνου , με τις πλευρές

, αντίστοιχα . Αν : $\tan\theta =\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε την : $\tan\omega$ . Προαιρετικά γενικεύστε .

Ας είναι

το έγκεντρο και $\widehat {IST} = \phi$ τότε και $\widehat {SCI} = \phi$ . Αν η ημιπερίμετρος του $\vartriangle ABC$ είναι

θέτω ,

$IP = r = s - a\,\,,\,\,CS = k = s - c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = m = s - b$ κι έχω :

: Αντίπαλες εφαπτομένες.png (21.33 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές

$\tan \phi = \dfrac{r}{k} = \dfrac{{s - a}}{{s - c}}\,\,\,\left( 1 \right)$ και $\tan \omega = \tan \left( {45^\circ + \phi } \right) = \dfrac{{1 + \tan \phi }}{{1 - \tan \phi }}$ ή λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\boxed{\tan \omega = \dfrac{{2s - \left( {a + c} \right)}}{{a - c}} = \dfrac{{2s - 2s + b}}{{a - c}} = \dfrac{b}{{a - c}}}$ .

Στην περίπτωσή μας είναι : $b = 3\,t\,,\,\,c = 4t\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a = 5t\,\,,\,\,t > 0$ , οπότε : $\boxed{\tan \omega = \dfrac{{3t}}{{5t - 4t}} = 3}$

Αντίπαλες εφαπτόμενες

Αντίπαλες εφαπτόμενες

Re: Αντίπαλες εφαπτόμενες

Re: Αντίπαλες εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση