Η άστατη μεσαία

KARKAR · #1

: Η άστατη μεσαία.png (18.29 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Τριγώνου

, με :

, οι πλευρές του αυξάνονται κατά

. Δείξτε ότι η μεγαλύτερη

γωνία θα μειωθεί ενώ η μικρότερη θα αυξηθεί . Μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για την μεσαία ;

Βρείτε την μεσαία πλευρά

, αν :

και η γωνία $\hat{B}$ μείνει αμετάβλητη .

#2

Επαναφορά!

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Κατ' αρχάς το "αυξάνονται κατά " δεν είναι σημαντικό για τη μελέτη των μεταβολών των γωνιών γιατί αλλάζοντας τις τιμές των a,b,c

το

θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

θα λύσουμε το γενικότερο πρόβλημα, του πως μεταβάλλονται οι γωνίες ενός τριγώνου όταν οι πλευρές του υποστούν το μετασχηματισμό $(a,b,c)\to (a+t,b+t,c+t)$ και μάλιστα το

όχι απαραίτητα θετικό.

Κατ' αρχάς για να αποτελεί η τριάδα τμημάτων (a+t,b+t,c+t)

τρίγωνο, επειδή c<b<a

, πρέπει και αρκεί t>a-b-c

οπότε με μια αλλαγή μεταβλητής u=t-a+b+c

με

μπορεί να θεωρηθεί ότι το δοθέν τρίγωνο προκύπτει από το εκφυλισμένο τρίγωνο (a_o,a_o-c_o,c_o)=(2a-b-c,a-c,a-b)

με αύξηση όλων των πλευρών κατά u>0

ενώ παρατηρούμε ότι $c_o<\dfrac{a_o}{2}$

Οπότε ουσιαστικά θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλονται οι γωνίες του εκφυλισμένου τριγώνου (a,a-c,c)

(ορίζουμε εδώ εκ νέου τις μεταβλητές a,c

) όταν αυξηθούν όλες οι πλευρές κατά u>0

(θυμίζουμε $c<\dfrac{a}{2}$ )

Εφαρμόζουμε το νόμο των συνημιτόνων και έχουμε:

$\bullet$ $\cos A=f(u)$ και βρίσκουμε ότι το πρόσημο της $f^\prime(u)$ συμπίπτει με το πρόσημο του τριωνύμου au^2+6c(a-c)u+2ac(a-c)

το οποίο έχει S<0

,

οπότε ακόμη και αν έχει ρίζες θα είναι ομόσημες και αρνητικές. Έπεται ότι για u>0

έχει θετικό πρόσημο οπότε η γωνία

θα ελλατώνεται.

$\bullet$ $\cos C=g(u)$ και βρίσκουμε ότι το πρόσημο της $g^\prime(u)$ συμπίπτει με το πρόσημο του τριωνύμου (3c-2a)u^2+2a(c-a)u-2ac(a-c)

το οποίο έχει S<0

,

οπότε ακόμη και αν έχει ρίζες θα είναι ομόσημες και αρνητικές. Έπεται ότι για u>0

έχει αρνητικό πρόσημο, συνεπώς η γωνία

θα αυξάνεται.

$\bullet$ $\cos B=h(u)$ και βρίσκουμε ότι το πρόσημο της $h^\prime(u)$ συμπίπτει με το πρόσημο του πολυωνύμου (a-3c)u^2-2acu+2ac(c-a)

#1. Αν $c < \dfrac{a}{3}$ έχουμε τριώνυμο με P<0

οπότε η γωνία

έχει δυο διαστήματα μονοτονίας, για μικρές τιμές του

αυξάνεται και για μεγάλες μειώνεται.

#2. Αν $c = \dfrac{a}{3}$ το πολυώνυμο είναι πρώτου βαθμού με μια αρνητική ρίζα οπότε η γωνία

θα έχει ένα διάστημα μονοτονίας και θα αυξάνει.

#3. Αν $c > \dfrac{a}{3}$ έχουμε τριώνυμο με S<0

,

οπότε η γωνία

θα έχει ένα διάστημα μονοτονίας και θα αυξάνει.

Τέλος η ζητούμενη τιμή του

υπολογίζεται εφαρμόζοντας για την αναλλοίωτη γωνία

δυο φορές το νόμο των συνημιτόνων, μια φορά στο τρίγωνο (6,b,4)

και μια στο (7,b+1,5)

. Εξισώνοντας τα $\cos B$ βρίσκουμε ότι $b=\dfrac{24+2\sqrt{331}}{11}\approx 5.49$ $\blacksquare$

Edit:
Χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές της εκφώνησης, η συνθήκη υπό την οποία η γωνία

παρουσιάζει δυο διαστήματα μονοτονίας (αρχίζοντας από το εκφυλισμένο τρίγωνο, όχι από αυτό της εκφώνησης) γράφεται $b > \dfrac{a+c}{2}$

Για το τρίγωνο της εκφώνησης με a=6

,

αυτό σημαίνει b>5

, το οποίο είναι συνεπές ως προς την τιμή $b\approx 5.49$ κατά την οποία αναμένεται ότι δεν έχουμε δύο διαστήματα μονοτονίας.

Η άστατη μεσαία

Η άστατη μεσαία

Re: Η άστατη μεσαία

Re: Η άστατη μεσαία

Μέλη σε σύνδεση