Μία ισότητα

Tolaso J Kos · #1

Σε τυχόν τρίγωνα ABC

να δειχθεί ότι ισχύει:

$\displaystyle{(a+b+c)\left(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}\right) = 2 c \cot\frac{C}{2}}$

Silver · #2

Έχει σχέση με την σχέση
$\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ , όπους

η ημιπερίμετρος του τριγώνου;

Tolaso J Kos · #3

Ναι, βγαίνει και με αυτό τον τρόπο.

Silver έγραψε: Τετ Δεκ 11, 2024 3:17 pm Έχει σχέση με την σχέση
$\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ , όπους η ημιπερίμετρος του τριγώνου;

#4

Σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει ότι

$\sin{A} + \sin{B} + \sin{C} = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2} \ \ (1)$

Απόδειξη:

$\begin{aligned} \sin{A} + \sin{B} + \sin{C} &= 2\sin{\dfrac{A+B}{2}}\cos{\dfrac{A-B}{2}}+2\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}} \\ &= 2\sin{\dfrac{180^\circ - C}{2}}\cos{\dfrac{A-B}{2}}+2sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}} = 2\cos{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{A-B}{2}}+2\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}} \\ &= 2\cos{\dfrac{C}{2}}\left(\cos{\dfrac{A-B}{2}}+\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{A+B}{2}\right)} \right)=2\cos{\dfrac{C}{2}}\left(\cos{\dfrac{A-B}{2}}+\cos{\dfrac{A+B}{2}} \right) \\ &= 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\end{aligned}$

και η απόδειξη για την παραπάνω ισότητα ολοκληρώθηκε.

Από τον νόμο των Ημιτόνων

$\dfrac{a}{\sin{A}}=\dfrac{b}{\sin{B}}=\dfrac{c}{\sin{C}}=\dfrac{a+b+c}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}$

κι έτσι $a+b+c=\dfrac{c\left(\sin{A} + sin{B} + \sin{C}\right)}{\sin{C}} \stackrel{(1)}{=} \dfrac{4c\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cancel{\cos\dfrac{C}{2}}}{2\sin{\dfrac{C}{2}}\cancel{\cos{\dfrac{C}{2}}}}=\dfrac{2c\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}}{\sin{\dfrac{C}{2}}} \ \ (2)$

Τελικά, $(a+b+c)\left(\tan{\dfrac{A}{2}}+\tan{\dfrac{B}{2}} \right) \stackrel{(2)}{=} \dfrac{2c\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}}{\sin{\dfrac{C}{2}}} \cdot \dfrac{\sin{\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)}}{\cos{\dfrac{A}{2}}\cos{\dfrac{B}{2}}}=2c\cot\dfrac{C}{2}$ .

#5

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Δεκ 11, 2024 1:00 pm Σε τυχόν τρίγωνα να δειχθεί ότι ισχύει:

$\displaystyle{(a+b+c)\left(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}\right) = 2 c \cot\frac{C}{2}}$

Αριστερό μέλος ίσον

$2s\left (\dfrac{\rho }{s-a}+\dfrac{\rho}{s-b}\right)= 2s\rho \cdot \dfrac{2s-a-b }{(s-a)(s-b)}= \dfrac{2s \rho c }{(s-a)(s-b)}$

$= 2c\cdot \dfrac {s-c}{\rho } \cdot \dfrac{s^2\rho ^2 }{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 2 c \cdot \cot\dfrac{C}{2} \cdot \dfrac{E ^2 }{E^2}=2 c \cot \dfrac{C}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Δεκ 11, 2024 1:00 pm Σε τυχόν τρίγωνα να δειχθεί ότι ισχύει:

$\displaystyle{(a+b+c)\left(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}\right) = 2 c \cot\frac{C}{2}}$

Είναι $tan \dfrac{A}{2} = \dfrac{r}{ \tau -a} ,tan \dfrac{B}{2} = \dfrac{r}{ \tau -b}$

Ισχύει $cot \dfrac{C}{2} =tan( \dfrac{A}{2} + \dfrac{B}{2})= \dfrac{tan \dfrac{A}{2} +tan \dfrac{B}{2} }{1-tan \dfrac{A}{2} tan \dfrac{B}{2} } \Rightarrow \dfrac{tan \dfrac{A}{2} +tan \dfrac{B}{2} }{cot \dfrac{C}{2} } =1-tan \dfrac{A}{2} tan \dfrac{B}{2}$

Επομένως αρκεί να δειχθεί ότι

$\tau (1- \dfrac{r}{ \tau -a}. \dfrac{r}{ \tau -b} )=c \Leftrightarrow E^2= \tau ( \tau -a)( \tau -b)( \tau -c)$ αληθής

: ισότητα.png (16.07 KiB) Προβλήθηκε 2180 φορές

Tolaso J Kos · #7

Μία άλλη λύση...

$\displaystyle{\begin{aligned} \left( a + b +c \right) \left( \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} \right) & = 2s \left( \sqrt{\frac{\left( s-b \right) \left( s-c \right)}{s \left( s - a \right)}} + \sqrt{\frac{\left( s-c \right) \left( s-a \right)}{s \left( s - b \right)}} \right) \\ & = 2s \frac{\sqrt{s-c}}{\sqrt{s}} \left( \frac{2s - a-b}{\sqrt{s-a} \sqrt{s-b}} \right) \\ & = 2c \frac{\sqrt{s} \sqrt{s-c}}{\sqrt{\left( s -a \right) \left( s-b \right)}} \\ & = 2c \sqrt{\frac{s \left( s-c \right)}{\left( s-a \right) \left( s-b \right)}} \\ & = 2c \cot \frac{C}{2} \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #8

cretanman έγραψε: Τετ Δεκ 11, 2024 4:44 pm Σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει ότι

$\sin{A} + \sin{B} + \sin{C} = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2} \ \ (1)$

Μία άλλη απόδειξη:

Επειδή $\displaystyle \cos \frac {A}{2} = \sqrt { \frac {\tau (\tau -a) } {bc}}$ και $\displaystyle E = \frac{abc}{4R}$ έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} &= 4 \sqrt { \frac {\tau ^3 (\tau -a) (\tau -b)(\tau -c) } {a^2b^2c^2}} \\ &=\frac {4 \tau \sqrt {\tau (\tau -a) (\tau -b)(\tau -c) }}{abc} \\ &= \frac {4 \tau E }{abc} \\ &= \frac {4 \tau} {4R} \\ &= \frac {a+b+c }{2R} \\ &= \sin A +\sin B + \sin C \end{aligned}}$
όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος,

και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και

το εμβαδόν του τριγώνου.

Σε όμοια κλίμα, αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση $\displaystyle{\sin \frac {A}{2} = \sqrt { \frac {(\tau -b) (\tau -c) } {bc}}}$ θα πάρουμε την άλλη γνωστή ισότητα

$\displaystyle{ \cos a + \cos b + \cos c = 1+4 \sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2}}$

Μία ισότητα

Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Μέλη σε σύνδεση