Απλό για γενναίους

KARKAR · #1

: Απλό για γενναίους.png (11.52 KiB) Προβλήθηκε 1000 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο OAB

έχει κάθετες πλευρές : OA=a , OB=b , a>b

. Η μεσοκάθετος

της υποτείνουσας

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

α) Υπολογίστε το τμήμα

... β) Βρείτε την σχέση των a , b

, ώστε να προκύπτει : AB=BS

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 31, 2024 9:49 am Απλό για γενναίους.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές : . Η μεσοκάθετος

της υποτείνουσας , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Βρείτε την σχέση των , ώστε να προκύπτει : .

Έστω

και $B\widehat SM=\theta.$

α) $\displaystyle \sin \theta = \cos B \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2(b + x)}} = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow 2{b^2} + 2bx = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{a^2-b^2}{2b}}$

β) Είναι AS=BS=AB

άρα το

είναι ισόπλευρο και $\boxed{a=b\sqrt 3}$

#3

Καλημέρα σε όλους. Θανάση, δεν χρειάζεται να είναι κανείς και "Κώστας Πρέκας" για να το λύσει. Ενδιαφέρον θέμα για την τάξη, με πολλαπλές προσεγγίσεις. Τριγωνομετρία του Γιώργου (παραπάνω ανάρτηση), με Ομοιότητα και Αναλυτική Γεωμετρία.

: 31-12-2024 Γεωμετρία.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 975 φορές

(Με ομοιότητα τριγώνων)

Από την ομοιότητα BSM, OAB

είναι $\displaystyle \frac{{BS}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{OB}} \Leftrightarrow BS = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2b}}$ ,

οπότε $\displaystyle OS = BS - OB = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2b}}$

$\displaystyle \left( {AB} \right) = \left( {BS} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2b}} \Leftrightarrow {a^4} - 2{a^2}{b^2} - 3{b^4} = 0$ , οπότε $\displaystyle a = \sqrt 3 b$ .

(Με Αναλυτική Γεωμετρία)

O(0,0), A(a, 0), B(0,b), a>b>0

, $\displaystyle M\left( {\frac{a}{2},\frac{b}{2}} \right),\;\;{\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} = - \frac{b}{a} \Rightarrow {\lambda _{MS}} = \frac{a}{b}$ , οπότε $\displaystyle MS:y - \frac{b}{2} = \frac{a}{b}\left( {x - \frac{a}{2}} \right)$

$\displaystyle S\left( {0,\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)$ , $\displaystyle OS = \left| {\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right| = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2b}}$

κ.ο.κ. όπως παραπάνω.

edit: Αν κάποιος δεν δει το ισόπλευρο τρίγωνο ABS

, θα κάνει τη διαδρομή μέσω διτετράγωνης εξίσωσης.

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Τρί Δεκ 31, 2024 11:22 am Καλημέρα σε όλους. Θανάση, δεν χρειάζεται να είναι κανείς και "Κώστας Πρέκας" για να το λύσει.

Φαντάζομαι, ο "Κώστας Πρέκας" θα το έλυνε με εμβαδά και Πτολεμαίο στο OMAS

Χρόνια Πολλά σε όλους!

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 31, 2024 9:49 am Απλό για γενναίους.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές : . Η μεσοκάθετος

της υποτείνουσας , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Βρείτε την σχέση των , ώστε να προκύπτει : .

Μία ακόμα λύση για το α) ερώτημα
α) Έστω $\displaystyle {\rm O}S = x$ . Φέρνω την $\displaystyle AS$ . Αφού $\displaystyle MS$ μεσοκάθετος του $\displaystyle {\rm A}{\rm B}$ , $\displaystyle SA = SB = x + b$ . Από Π.Θ στο ορθογ. τρίγ. $\displaystyle {\rm A}{\rm O}S$ , έχουμε:
$\displaystyle \begin{array}{l} A{S^2} = O{S^2} + O{A^2} \Rightarrow {\left( {x + b} \right)^2} = {x^2} + {a^2} \Rightarrow {x^2} + 2bx + {b^2} = {x^2} + {a^2} \Rightarrow \\ 2bx = {a^2} - {b^2} \Rightarrow x = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2b}}. \end{array}$
β) Αν AB = BS

τότε, αφού $\displaystyle SA = SB = x + b$ , το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το

είναι διάμεσος – άρα BS = 2b

– και ύψος του . Άρα: $\alpha = \frac{{2\beta \sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \alpha = \beta \sqrt 3 .$

Απλό για γενναίους

Απλό για γενναίους

Re: Απλό για γενναίους

Re: Απλό για γενναίους

Re: Απλό για γενναίους

Re: Απλό για γενναίους

Μέλη σε σύνδεση