Σκακιέρα

[apostoloΚ]

1. Έστω μια σκακιέρα 8×8, όπου αρχικά κάθε τετράγωνο περιέχει έναν πύργο. Ένας-ένας, οι πύργοι που επιτίθενται σε περιττό αριθμό άλλων πύργων αφαιρούνται από τη σκακιέρα. Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός πύργων που μπορούν να αφαιρεθούν. (Ένας πύργος επιτίθεται σε έναν άλλο αν βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στήλη και δεν υπάρχει άλλος πύργος ανάμεσά τους.)

2. Στο σκάκι, ένας βασιλιάς απειλεί έναν άλλο βασιλιά αν, και μόνο αν, βρίσκονται σε γειτονικά τετράγωνα—οριζόντια, κατακόρυφα ή διαγώνια. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός βασιλιάδων που μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σκακιέρα 12×12, έτσι ώστε κάθε βασιλιάς να απειλεί ακριβώς έναν άλλο βασιλιά; Θεωρούμε ότι όλοι οι βασιλιάδες είναι ίδιου χρώματος, άρα μπορούν να απειλούν ο ένας τον άλλον.

[socrates]

Επαναφορά!

[Belias]

Για το 1ο
Αρχίζουμε από μια σκακιέρα με 64 πύργους.
Θα χρησιμοποιώ το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούν και οι σκακιστές για τη λύση.
Προφανώς η πρώτη αφαίρεση πύργου μπορεί να γίνει μόνο από τα τετράγωνα της στήλης α/θ και γραμμής 2 ως 7 ή από αυτά της γραμμής 1/8 και στηλών β ως η.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας αρχίζω από το β8 και καθαρίζω τα τετράγωνα ως το η8.
Κάνω το ίδιο κατεβαίνοντας, 1 γραμμή τη φορά και η θέση που προκύπτει έχει πύργους στην 1η γραμμή και στις στήλες α και θ.
Όμως ακόμα δικαιούμαι να αφαιρέσω πύργους στην στήλη α η θ αφού υπάρχουν κάποιοι που βλέπουν 3 πύργους (2 της στήλης τους και έναν της απέναντι στήλης).
Έτσι αφαιρώ τους πύργους α7 ως α2 και μένω με 16 πύργους, έναν στο α8 και τους υπόλοιπους 15 στην πρώτη γραμμή της σκακιέρας και στην στήλη θ.
64-16=48 οπότε μπορώ να αφαιρέσω το πολύ 48 πύργους.

[abfx]

Για το 1ο
Αρχίζουμε από μια σκακιέρα με 64 πύργους.
Θα χρησιμοποιώ το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούν και οι σκακιστές για τη λύση.
Προφανώς η πρώτη αφαίρεση πύργου μπορεί να γίνει μόνο από τα τετράγωνα της στήλης α/θ και γραμμής 2 ως 7 ή από αυτά της γραμμής 1/8 και στηλών β ως η.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας αρχίζω από το β8 και καθαρίζω τα τετράγωνα ως το η8.
Κάνω το ίδιο κατεβαίνοντας, 1 γραμμή τη φορά και η θέση που προκύπτει έχει πύργους στην 1η γραμμή και στις στήλες α και θ.
Όμως ακόμα δικαιούμαι να αφαιρέσω πύργους στην στήλη α η θ αφού υπάρχουν κάποιοι που βλέπουν 3 πύργους (2 της στήλης τους και έναν της απέναντι στήλης).
Έτσι αφαιρώ τους πύργους α7 ως α2 και μένω με 16 πύργους, έναν στο α8 και τους υπόλοιπους 15 στην πρώτη γραμμή της σκακιέρας και στην στήλη θ.
64-16=48 οπότε μπορώ να αφαιρέσω το πολύ 48 πύργους.

Καλησπέρα. Στην παραπάνω προσέγγιση έχει βρεθεί μια στρατηγική που καταφέρνει να "αφαιρέσει" πύργους.

Δεν έχει όμως δειχθεί ότι δεν υπάρχει άλλη στρατηγική η οποία να καταφέρνει να αφαιρεί περισσότερους πύργους, ώστε να αποφανθούμε ότι είναι το ζητούμενο μέγιστο.

Μήπως δεν είναι τελικά;

[αρψ2400]

59 χωρίς τις γωνίες , και 1 ακόμα.

[αρψ2400]

Μία γωνία δεν μπορεί να αποσυρθεί αφού πρέπει πρώτα να αποσυρθεί μία γειτονική γωνία .η οποία για να αποσυρθεί πρέπει να αποσυρθεί πριν η άλλη γειτονική της ,πριν η άλλη γειτονική , και τελικά η αρχική .Το 60στο όπου αλλού κι αν είναι δεν θα απειλεί κανένα άλλο πύργο (0 ζυγός) ,και δεν μπορεί να αποσυρθεί.