Τμήμα από καθετότητες

KARKAR · #1

: Τμήμα από καθετότητες.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο OAPB

, στο

φέρουμε κάθετη προς την

, η οποία

τέμνει τις προεκτάσεις των OA , OB

στα σημεία T ,Q

αντίστοιχα . Η κάθετη από το

προς

την

, τέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα

, ( συναρτήσει των a, b

) .

abgd · #2

: kathetes.png (28.48 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

Οι σημειωμένες στο σχήμα γωνίες είναι ίσες, αφού είναι οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές.

Άρα OS=ST

και έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο QOT

η

θα είναι διάμεσος.

Για τον υπολογισμό του μήκους της αρκεί να βρούμε το μήκος της υποτείνουσας

.

Από τις μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε:

$a^2=b\cdot QB\Rightarrow \boxed{QB = \dfrac{a^2}{b}}$ ,

$b^2=a\cdot AT\Rightarrow \boxed{AT = \dfrac{b^2}{a}}$

$OS=\dfrac{TQ}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(b+\dfrac{a^2}{b}\right)^2+\left(a+\dfrac{b^2}{a}\right)^2}}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^3}{2ab}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 17, 2025 7:44 pm
Τμήμα από καθετότητες.pngΣτο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο , στο φέρουμε κάθετη προς την , η οποία

τέμνει τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Η κάθετη από το προς

την , τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα , ( συναρτήσει των ) .

Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου και

το σημείο τομής των AB, OS.

Μετρικές σχέσεις στο OAB.

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {a^2} = AD\sqrt {{a^2} + {b^2}} \hfill \\ {b^2} = BD\sqrt {{a^2} + {b^2}} \hfill \\ O{D^2} = AD \cdot BD \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {a^2}{b^2} = O{D^2}({a^2} + {b^2}) \Leftrightarrow$ $\boxed{OD = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}$ (1)

: Τμήμα από καθετότητες.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα ODM, OPS,

έχω:

$\displaystyle OM \cdot OP = OD \cdot OS\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}OS \Leftrightarrow$ $\boxed{OS = \frac{{({a^2} + {b^2})\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2ab}}}$

abgd · #4

Ενδιαφέρον έχει και το αντίστροφο - σαν ξεχωριστή άσκηση.

Αν $\displaystyle{\ \ OS = \frac{{({a^2} + {b^2})\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2ab}}$ , τότε $\displaystyle{OS\perp AB}$

Τμήμα από καθετότητες

Τμήμα από καθετότητες

Re: Τμήμα από καθετότητες

Re: Τμήμα από καθετότητες

Re: Τμήμα από καθετότητες

Μέλη σε σύνδεση