Σχέση μεταξύ υποχώρων

Loukas_Margaritis · #1

Καλησπέρα σας.
Έχω μια απορία σχετικά με τους υποχώρους.
Έστω δύο υπόχωροι U και V ενός διανυσματικού χώρου, οι οποίοι έχουν την ίδια διάσταση.
Εφόσον μας δίνονται οι βάσεις τους, είναι πάντα δυνατόν να αποφανθούμε για το αν κάποιος από τους δύο είναι υπόχωρος του άλλου;

Ευχαριστώ πολύ

Loukas_Margaritis · #2

Και εάν κάποιος είναι υπόχωρος του άλλου (και έχουν την ίδια διάσταση) τότε ισχύει κατ' ανάγκη ότι U=V;

#3

Loukas_Margaritis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 31, 2025 11:47 pm
Και εάν κάποιος είναι υπόχωρος του άλλου (και έχουν την ίδια διάσταση) τότε ισχύει κατ' ανάγκη ότι U=V;

Ναι, ισχύει: Έστω

υπόχωρος του

αλλά $U \subsetneqq V$ . Οπότε υπάρχει $v\in V$ με $v\notin U$ . Έστω e_1,e_2,...,e_n

βάση του

. Ισχυρίζομαι ότι τα v, e_1,e_2,...,e_n

είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Πράγματι, έστω

$a_0v+a_1e_+a_2e_2+...+a_ne_n=0 ,\, (*)$ .

Αν ήταν $a_0\ne 0$ τότε θα ίσχυε $v =- \dfrac {a_1}{a_0} e_1-\dfrac {a_2}{a_0} e_2-...-\dfrac {a_n}{a_0} e_n\in U$ , άτοπο. Άρα a_0=0

και η

τώρα γράφεται

a_1e_+a_2e_2+...+a_ne_n=0

. Έπεται

διότι τα

είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη ότι τα v, e_1,e_2,...,e_n

είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αλλά αυτό είναι άτοπο γιατί η διάσταση του

θα ήταν τότε $\ge n+1$ , ενώ έχουμε υποθέσει ότι είναι

.

Από το άτοπο έπεται ότι U=V

.

#4

Loukas_Margaritis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 31, 2025 11:45 pm
Έστω δύο υπόχωροι U και V ενός διανυσματικού χώρου, οι οποίοι έχουν την ίδια διάσταση.
Εφόσον μας δίνονται οι βάσεις τους, είναι πάντα δυνατόν να αποφανθούμε για το αν κάποιος από τους δύο είναι υπόχωρος του άλλου;

Για να δείξεις ότι π.χ. ο

είναι υπόχωρος του

, είναι ισοδύναμο με το να δείξεις ότι κάθε στοιχείο της βάσης του

είναι γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης του

. Ι

Loukas_Margaritis · #5

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!
Άρα, εάν μας δίνονται δύο γραμμικές θήκες, πχ
V = [(3, 2, -1, 0), (1, 1, -3, 5), (1, 0, -5, 2)] και
U = [(1, 1, 2, -1), (2, 1, -3, 1), (1, a, 9, -4)] όπου a πραγματικός αριθμός, ο μόνος τρόπος να βρούμε για ποια a ισχύει V≤U
είναι να βρούμε βάσεις για τους δύο υποχώρους και έπειτα για ποια a κάθε στοιχείο της βάσης V γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης U;

(Επιπλέον, επειδή εδώ έχουμε dimV = 3, όταν ισχύει V≤U θα απαιτήσουμε καταρχάς dimU = 3 και θα έχουμε πάλι V=U.)

Απλώς επειδή αυτή η μέθοδος δεν φαίνεται πολύ αποτελεσματική για γραμμικές θήκες που περιέχουν παραμέτρους, υπάρχει κάποιος πιο έξυπνος τρόπος;

Ευχαριστώ πολύ

#6

Γράψε σε παρακαλώ σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας, και θα σου απαντήσω.

Ας προσθέσω ότι αν είναι φοιτητής, όπως υποθέτω ότι είσαι, τότε το latex θα σου είναι άκρως απαραίτητο. Θα σου το ζητήσουν οι Δάσκαλοί σου όταν υποβάλεις εργασίες και δεν υπάρχει ερευνητικό περιοδικό στον κόσμο που δεν απαιτεί όλες οι υποβλειθείσες εργασίες να είναι σε latex. Να λοιπόν μία ευκαιρία να αφιερώσεις δέκα λεπτά για να μάθεις τα βασικά του latex.

Loukas_Margaritis · #7

Διορθωμένη ερώτηση με χρήση Latex:

Εάν μας δίνονται δύο γραμμικές θήκες, πχ
V=[(3, 2, -1, 0), (1, 1, -3, 5), (1, 0, -5, 2)]

και $U = [(1, 1, 2, -1), (2, 1, -3, 1), (1, a, 9, -4)], a \in R$ ,
ο μόνος τρόπος να βρούμε για ποια

ισχύει $V \leq U$ είναι να βρούμε βάσεις για τους δύο υποχώρους και έπειτα για ποια

κάθε στοιχείο της βάσης

γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης

;

(Επιπλέον, επειδή εδώ έχουμε dim(V) = 3

, όταν ισχύει $V \leq U$ θα απαιτήσουμε καταρχάς dim(U) = 3

και θα έχουμε πάλι V=U

.)

Απλώς επειδή αυτή η μέθοδος δεν φαίνεται πολύ αποτελεσματική για γραμμικές θήκες που περιέχουν παραμέτρους, υπάρχει κάποιος πιο έξυπνος τρόπος;

Ευχαριστώ πολύ για την παρότρυνση, εάν μπορώ να βελτιώσω κάπως τη δομή του μηνύματος μη διστάσετε να μου πείτε πώς!

#8

Loukas_Margaritis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2025 7:53 pm
Εάν μας δίνονται δύο γραμμικές θήκες, πχ
και $U = [(1, 1, 2, -1), (2, 1, -3, 1), (1, a, 9, -4)], a \in R$ ,
ο μόνος τρόπος να βρούμε για ποια ισχύει $V \leq U$ είναι να βρούμε βάσεις για τους δύο υποχώρους και έπειτα για ποια κάθε στοιχείο της βάσης γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης ;

(Επιπλέον, επειδή εδώ έχουμε , όταν ισχύει $V \leq U$ θα απαιτήσουμε καταρχάς και θα έχουμε πάλι .)

Απλώς επειδή αυτή η μέθοδος δεν φαίνεται πολύ αποτελεσματική για γραμμικές θήκες που περιέχουν παραμέτρους, υπάρχει κάποιος πιο έξυπνος τρόπος;

Γυρίζουμε το πρόβλημα ανάποδα.

Πρώτα ελέγχουμε ότι ο

έχει διάσταση

(απλό).

Αν ο

είχε δάσταση

, το ζητούμενο αποκλείεται, οπότε ας δούμε τι γίνεται όταν η διάσταση είναι

. Σε αυτή την περίπτωση θα είναι U=V

. Οπότε αντί να ψάχνουμε αν κάθε στοιχείο της βάσης του

είναι γραμμικός συνδυασμός των δοθέντων διανυσμάτων του

, είναι ισοδύναμο να κάνουμε το ανάποδο, δηλαδή να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο της βάσης του

είναι γραμμικός συνδυασμός των δοθέντων διανυσμάτων του

. Αυτό είναι ευκολότερο γιατί τα διανύσματα του

δεν έχουν παράμετρο.

Τώρα, όταν θα πας να ελέγξεις αν ισχύει και πότε η

(1, a, 9, -4)= p(3, 2, -1, 0)+q (1, 1, -3, 5)+r (1, 0, -5, 2)

μπορείς να αγνοήσεις προσωρινά την δεύτερη συντεταγμένη και να βρεις p,q,r

που να δίνουν τις άλλες συντεταγμένες. Συγκεκριμένα να λύσεις το σύστημα

$1=3p+q+r,\, 9=-p-3q-5r, \, -4=5q+2r$ . Αφού βρεις τα p, q, r

θέλεις για αυτές τις τιμές να ισχύει (κοιτάμε τώρα την δεύτερη συντεταγμένη)

a=2p+q

(που είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός). Τελειώσαμε! Αυτός ο αριθμός είναι ο ένας και μοναδικός αριθμός που κάνει τους υπόχωρους ίσους.

Σημειώνω ότι υπάρχουν και άλλοι τρόποι να γλιτώσεις πράξεις. Π.χ. μπορείς να βρεις με χρήση πινάκων που θα τους αναγάγεις σε κλιμακωτή μορφή κάποια απλούστερη βάση (με συντεταγμένες που έχουν πολλά μηδενικά) που παράγει τον

, και να εργαστείς με αυτά.

Σχέση μεταξύ υποχώρων

Σχέση μεταξύ υποχώρων

Re: Σχέση μεταξύ υποχώρων

Re: Σχέση μεταξύ υποχώρων

Re: Σχέση μεταξύ υποχώρων

Re: Σχέση μεταξύ υποχώρων

Re: Σχέση μεταξύ υποχώρων

Re: Σχέση μεταξύ υποχώρων

Re: Σχέση μεταξύ υποχώρων

Μέλη σε σύνδεση