Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

#1

: Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

ισοπλεύρου τριγώνου ABC

και έστω

οι προβολές του στις

AB, BC

αντίστοιχα. A) να βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{{(BEF)}}{{(ABC)}}$ όταν μεγιστοποιείται το εμβαδόν του BEF.

B) Αν

να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος BD.

KARKAR · #2

: isopl.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Α) $E(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{8}(-2x^2+ax+a^2)$ , με : $E_{max}=\dfrac{9\sqrt{3}}{64}a^2{$ , για : $x=\dfrac{a}{4}$ .

Τότε : $\dfrac{(BEF)}{(ABC}=\dfrac{9}{16}$

Β) Προφανώς : a=16

και με Π.Θ. στο

παίρνουμε : BD=14

.

#3

george visvikis έγραψε: Δευ Φεβ 17, 2025 12:31 pm Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο.png
Σημείο κινείται στην πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου και έστω οι προβολές του στις

αντίστοιχα. A) να βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{{(BEF)}}{{(ABC)}}$ όταν μεγιστοποιείται το εμβαδόν του

B) Αν να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος

Ας είναι

η πλευρά του ισοπλεύρου $\vartriangle ABC$ . Από το

φέρνω παράλληλες στις δυο άλλες πλευρές μέχρι να τις κόψουν.

Αν $DT//AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DP//BC$ το τετράπλευρο BTDP

είναι παραλληλόγραμμο με ημιπερίμετρο ίση με

.

: Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο.png (18.07 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Έτσι οι πλευρές $BF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE$ έχουν σταθερό άθροισμα : $BF + BF = BT + x + BP + y = BT + BP + x + y = a + \dfrac{{2\left( {x + y)} \right)}}{2} = a + \dfrac{a}{2} = \dfrac{{3a}}{2}$ .

Το $\left( {BEF} \right) = \dfrac{1}{2}BE \cdot BF \cdot \sin 60^\circ$ που γίνεται μέγιστο όταν BF = BE = EF = d

επειδή $d = \dfrac{{3a}}{4}$ θα έχω :

$\dfrac{{\left( {BEF} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \dfrac{{{d^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{{a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{{{d^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{16}}$ . (Το άλλο είναι για συμπλήρωση μορίων ?)

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: Δευ Φεβ 17, 2025 12:31 pm Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο.png
Σημείο κινείται στην πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου και έστω οι προβολές του στις

αντίστοιχα. A) να βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{{(BEF)}}{{(ABC)}}$ όταν μεγιστοποιείται το εμβαδόν του

B) Αν να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος

$BF=x,BE=y,BOF,\hat{O}=30^{0},AO=OD=2(a-y),2x=OB\Rightarrow 2x=3a-2y,ED=\sqrt{3}(a-y), DF=\sqrt{3}(a-x),(BEF)=\dfrac{1}{2}x.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{3a-2x}{2}=t\Leftrightarrow 2\sqrt{3}x^{2}-3\sqrt{3}ax+8t=0 ,\Delta \geq 0\Rightarrow t_{max}=\dfrac{9}{64}\sqrt{3}a^{2} x_{max}=\dfrac{3}{4},\dfrac{(BEF)}{(ABC)} =\dfrac{9}{16}$

#5

Τα

έχουν άθροισμα το μισό μιας πλευράς του ABC

, επομένως και τα BF, BE

έχουν σταθερό άθροισμα. Οπότε το γινόμενο τους μεγιστοποιείται όταν γίνουν ίσα, δηλαδή όταν το σημείο

είναι μέσο του

. Τότε ολόγος ομοιότητας των BEF

με το

ισούται με 3/4

οπότε ο λόγος των εμβαδών είναι 9/16

.

Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Re: Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Re: Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Re: Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Re: Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση