Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int \ln \left( \frac{x - \sqrt{1-x^2}}{x+\sqrt{1-x^2}} \right) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x }$

abgd · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Φεβ 19, 2025 2:01 pm Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int \ln \left( \frac{x - \sqrt{1-x^2}}{x+\sqrt{1-x^2}} \right) \frac{x}{\color{red}{\sqrt{1-x^2}}} \, \mathrm{d}x }$

Μήπως πρέπει να αφαιρεθεί η κόκκινη ρίζα; Έτσι όπως είναι, αν δεν κάνω κάπου λάθος, χρειάζεται συνάρτηση εκτός της ύλης της Γ΄ Λυκείου.

Tolaso J Kos · #3

Δε βλέπω πρόβλημα έτσι όπως το χω δώσει.

abgd · #4

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Φεβ 19, 2025 3:04 pm Δε βλέπω πρόβλημα έτσι όπως το χω δώσει.

Έχεις δίκιο...δίνω μία λύση.

Έστω $\displaystyle{f(x)=\ln \dfrac{x-\sqrt{1-x^2}}{x+\sqrt{1-x^2}}, \ \ x \in\left[-1,\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\bigcup \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right]$

Στο διάστημα $\displaystyle{ \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right)$

βρίσκουμε την παράγωγο της

.... $\displaystyle{f'(x)=\dfrac{2}{2x^2-1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}x-1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}x+1}\right)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

και

$\displaystyle{\int \ln \left( \frac{x - \sqrt{1-x^2}}{x+\sqrt{1-x^2}} \right) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x =}$

$\displaystyle{\int{\left(-\sqrt{1-x^2}\right)'f(x)}dx=-\sqrt{1-x^2}f(x)+\int{\sqrt{1-x^2}f'(x)}dx=}$

$\displaystyle{=-\sqrt{1-x^2}f(x)+\int{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}x-1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}x+1}\right)}dx= }$

$\displaystyle{=-\sqrt{1-x^2}f(x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(\ln\left(\sqrt{2}x-1\right) -\ln\left(\sqrt{2}x+1\right)\right)+c }$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση