Εύρεση παραμέτρων με δεδομένο ακρότατο

Χρήστος Ανδρώνης · #1

Καλησπέρα

! Γνωρίζω ότι σε ασκήσεις που ζητείται η εύρεση της τιμής παραμέτρου συνάρτησης, η οποία παρουσιάζει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, χρησιμοποιούμε το θεώρημα Fermat για να βρούμε την τιμή της παραμέτρου και ολοκληρώνουμε την άσκηση με επαλήθευση, αφού το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Αναρωτιέμαι, όμως, αν υπάρχουν περιπτώσεις όπου η επαλήθευση αυτή δεν είναι απαραίτητη.

Για παράδειγμα: δίνεται η συνάρτηση $f(x)=a\ln{x}-\ x^2+2,\ \alpha\in R$ , η οποία παρουσιάζει ακρότατο στο x_0=1

. Από το θεώρημα Fermat, προκύπτει ότι f'(1)=0

και βρίσκουμε ότι a=2

, τιμή που γίνεται δεκτή έπειτα από επαλήθευση.

Σε τέτοιου είδους ασκήσεις, όπου προκύπτει μοναδική τιμή του α ώστε f'(x_0)=0

, θεωρείτε ότι παραμένει απαραίτητη η επαλήθευση; Υπάρχει, δηλαδή, περίπτωση να μην μπορούμε να βρούμε αποδεκτή τιμή της παραμέτρου;

margk · #2

Αν είναι δεδομένο ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο τότε δεν χρειάζεται επαλήθευση.
Αν θέλουμε να βρούμε την παράμετρο ώστε να παρουσιάζει ακρότατο τότε χρειάζεται γιατί όπως σωστά λες δεν ισχύει το αντίστροφο του Fermat.

abgd · #3

Χρήστος Ανδρώνης έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2025 2:55 pm
Καλησπέρα ! Γνωρίζω ότι σε ασκήσεις που ζητείται η εύρεση της τιμής παραμέτρου συνάρτησης, η οποία παρουσιάζει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, χρησιμοποιούμε το θεώρημα Fermat για να βρούμε την τιμή της παραμέτρου και ολοκληρώνουμε την άσκηση με επαλήθευση, αφού το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Αναρωτιέμαι, όμως, αν υπάρχουν περιπτώσεις όπου η επαλήθευση αυτή δεν είναι απαραίτητη.

Για παράδειγμα: δίνεται η συνάρτηση $f(x)=a\ln{x}-\ x^2+2,\ \alpha\in R$ , η οποία παρουσιάζει ακρότατο στο . Από το θεώρημα Fermat, προκύπτει ότι $\color{red} f'(1)=0$ και βρίσκουμε ότι $\color{red}a=2$ , τιμή που γίνεται δεκτή έπειτα από επαλήθευση.

Σε τέτοιου είδους ασκήσεις, όπου προκύπτει μοναδική τιμή του α ώστε , θεωρείτε ότι παραμένει απαραίτητη η επαλήθευση; Υπάρχει, δηλαδή, περίπτωση να μην μπορούμε να βρούμε αποδεκτή τιμή της παραμέτρου;

Καλησπέρα Χρήστο.

Στο παράδειγμα που δίνεις δεν χρειάζεται επαλήθευση, αφού έχουμε δεδομένο ότι η συνάρτηση έχει ακρότατο.

Να δώσω ένα απλό παράδειγμα το οποίο βοηθάει να ξεκαθαρίσουμε γιατί είναι απαραίτητη η επαλήθευση...

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x-a)^3, \ \ x \in \mathbb{R}$ . Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου

έτσι ώστε η συνάρτηση να έχει τοπικό ακρότατο στη θέση x_0=1

.

Απάντηση.

Είναι f'(x)=3(x-a)^2

.

Αν η συνάρτηση έχει ακρότατο στη θέση x_0=1

θα πρέπει, από το θεώρημα του Fermat, $f'(1)=0\Rightarrow a=1$ .

Για a=1

$f'(x)=3(x-1)^2>0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}-\{1\}$ .

Εφόσον η

είναι συνεχής στο

θα είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και συνεπώς δεν έχει ακρότατα.

Άρα δεν υπάρχει τιμή του

έτσι ώστε η συνάρτηση να έχει ακρότατο στη θέση x_0=1

.

Χρήστος Ανδρώνης · #4

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2025 5:17 pm

Καλησπέρα Χρήστο.

Στο παράδειγμα που δίνεις δεν χρειάζεται επαλήθευση, αφού έχουμε δεδομένο ότι η συνάρτηση έχει ακρότατο.

Να δώσω ένα απλό παράδειγμα το οποίο βοηθάει να ξεκαθαρίσουμε γιατί είναι απαραίτητη η επαλήθευση...

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x-a)^3, \ \ x \in \mathbb{R}$ . Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου έτσι ώστε η συνάρτηση να έχει τοπικό ακρότατο στη θέση .

Απάντηση.

Είναι .

Αν η συνάρτηση έχει ακρότατο στη θέση θα πρέπει, από το θεώρημα του Fermat, $f'(1)=0\Rightarrow a=1$ .

Για

$f'(x)=3(x-1)^2>0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}-\{1\}$ .

Εφόσον η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και συνεπώς δεν έχει ακρότατα.

Άρα δεν υπάρχει τιμή του έτσι ώστε η συνάρτηση να έχει ακρότατο στη θέση .

Πράγματι, όταν η ύπαρξη ακροτάτου δεν είναι δεδομένη, η επαλήθευση είναι απαραίτητη πάντοτε, αφού το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Η απορία μου αφορούσε περιπτώσεις όπου η ύπαρξη ακροτάτου είναι δεδομένη και ζητείται απλά η εύρεση της τιμής της παραμέτρου.

Συζητούσα πρόσφατα με μαθητή μου τη λύση της άσκησης που παρέθεσα και παρότι θεωρώ κι εγώ ότι η επαλήθευση εκεί δεν είναι απαραίτητη, είδα προς έκπληξη μου να μην παραλείπεται από τη λύση της άσκησης στο βοήθημα που δουλεύουμε, οπότε σκέφτηκα ότι μάλλον κάτι μου διαφεύγει.

Επίσης, ο λόγος που αναφέρθηκα σε ύπαρξη μοναδική τιμής της παραμέτρου που ικανοποιεί τη σχέση f'(x_0)=0

είναι ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου η επαλήθευση είναι απαραίτητη, ακόμη κι αν η ύπαρξη ακροτάτου είναι δεδομένη.

Για παράδειγμα: δίνεται η συνάρτηση f'(x)=2x^3-3(a-1)x^2+6a^2x+1

, η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x_0=-1

. Από τη σχέση f'(-1)=0

προκύπτουν οι τιμές a=0

και

, αλλά μόνο η πρώτη γίνεται τελικά δεκτή.

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας!

margk · #5

Για την συνάρτηση που αναφέρεις παραπάνω πιστεύω ότι η ορθότερη διατύπωση θα ήταν : να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει ακρότατο στη θέση χ_0=-1

και όχι να είναι δεδομένη η ύπαρξη του ακρότατου.

Εύρεση παραμέτρων με δεδομένο ακρότατο

Εύρεση παραμέτρων με δεδομένο ακρότατο

Re: Εύρεση παραμέτρων με δεδομένο ακρότατο

Re: Εύρεση παραμέτρων με δεδομένο ακρότατο

Re: Εύρεση παραμέτρων με δεδομένο ακρότατο

Re: Εύρεση παραμέτρων με δεδομένο ακρότατο

Μέλη σε σύνδεση