διοφαντική με παραγοντικά και πρώτους

[apostoloΚ]

βρείτε όλες τις τριάδες μη αρνητικών ακεραίων (a,b,p) όπου p πρώτος έτσι ώστε :

[mick7]

Με την βοήθεια του Λογισμικού Mathematica βρήκα τις ακόλουθες τριάδες (0,4,5),(0,5,11) κτλ...
Δεν είμαι σίγουρος αν είναι οι μόνες...



Κωδικας

Κώδικας: Επιλογή όλων

solutions = 
  Select[Flatten[
    Table[{a, b, p}, {a, 0, 200}, {b, 0, 200}, {p, 2, 200}], 
    2], (Factorial[#[[1]]] + Factorial[#[[2]]] + 
        7*#[[1]]*#[[2]] == #[[3]]^2 && PrimeQ[#[[3]]]) &];

Κώδικας: Επιλογή όλων

solutions // TableForm

[Mihalis_Lambrou]

Δεν είμαι σίγουρος αν είναι οι μόνες...

Aπο το προγραμματάκι παραπάνω δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα, ούτε κατά φαντασίαν. Και αυτό γιατί ο περιορισμός είναι ΠΑΡΑ πολύ σφικτός. Συγκεκριμένα, το δεξί μέλος της δοθείσας είναι τότε . Όπως στο αριστερό, ακόμη και για , θα ξεπεράσουμε αυτήν την τιμή μόλις για αφού



Με άλλα λόγια το εύρος τιμών του στο προγραμματάκι μέχρι το είναι αποπροσανατολιστικό. Το πράγραμμα θα σταματίσει έτσι και αλλιώς στο . Δηλαδή σε πολύ μικρά νούμερα για να βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα με βάση την διαίσθηση.

Και γιατί τα λέω αυτά: Αν προσπαθήσουμε να λύσουμε την δοθείσα για , αναγώμαστε στην . Αν χαλαρώσουμε την υπόθεση πρώτος, και πάμε στο γενικότερο πρόβλημα τότε πέφτουμε στο

Πρόβλημα Brocard, βλέπε εδώ

Για το πρόβλημα Brocard έχει γίνει έλεγχος για αριθμούς της τάξης τρισεκατομμυρίων, όχι απλά μέχρι το που σταματά το παραπάνω προγραμματάκι. Μέχρι το οι μόνες γνωστές λύσεις ήταν οι ή ή .

Υπόψη ότι το πρόβλημα Brocard είναι ακόμη ανοικτό στην βιβλιογραφία.

[apostoloΚ]

το έχω αρχίσει δεν ξέρω πώς να τελειώσω : χωρίς βλάβη της γενικότητας άρα .
1η περίπτωση a=b : οπότε δηλαδή . Αν a=1 προφανώς p=3 αν , LHS>RHS , άτοπο
2η περίπτωση : η εξίωση γίνεται προφανώς LHS > RHS , άτοπο
3η περίπτωση : έστω a=b+n , n όπου n ακέραιος προφανώς LHS > RHS
4η περίπτωση : η εξίσωση γίνεται . ΑΠΟ ΕΔΩ ΚΑΙ ΠΕΡΑ ΘΕΛΩ ΜΙΑ ΛΥΣΗ

[mick7]

Υπάρχει η περίπτωση η όπως υπέδειξε ο κ.Λάμπρου.
Επίσης και
Εκτιμώ ότι μετά από κάποιο σημείο (?) το παραγοντικό μεγαλώνει πολύ γρήγορα για να το προλάβει το δεξιό μέλος.
Τελικά εικάζω οι μόνες λύσεις είναι αυτές που προανέφερα.

[Mihalis_Lambrou]

Εκτιμώ ότι μετά από κάποιο σημείο (?) το παραγοντικό μεγαλώνει πολύ γρήγορα για να το προλάβει το δεξιό μέλος.

.
Προσοχή, δεν έχει νόημα αυτό διότι η μεταβολή του κάθε μέλους είναι ελεύθερη: Μπορεί να μεγαλώνει με τον δικό της ρυθμό.

Για παράδειγμα ας δούμε τι θα συμβεί αν χρησιμοποιούσαμε το ίδιο αυτό επιχείρημα στο πρόβλημα

Να επιλυθεί στους θετικούς φυσικούς η .

Δεν μπορούμε να πούμε, ως άνω, ότι "ότι μετά από κάποιο σημείο (?) το παραγοντικό μεγαλώνει πολύ γρήγορα για να το προλάβει το δεξιό μέλος¨ για να συμπεράνουμε ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις εκτός ίσως από κάποιες αρχικές.

Αντιθέτως, η εξίσωση αυτή έχει άπειρες λύσεις. Στην πραγματικότητα είναι ήδη λυμένη από την μορφής της. Συγκεκριμένα απλά παίρνουμε για οποιοδήποτε . Έχουμε τότε λύση αφού .

Στο παράδειγμα αυτό φαίνεται καθαρά ότι αν κάνουμε σάρωση των τιμών των προς αναζήτηση λύσης (όπως θα έκανε ένα λογισμικό ή η ΑΙ) τότε η τιμή του που δίνει λύση είναι πολύ πιο μεγάλη από την . Όμως λύση υπάρχει. Αν τα δούμε ως ζεύγη, είναι τα















και ούτω καθ' εξής, χωρίς τέλος.