Θαυματουργή διάμετρος

KARKAR · #1

: Θαυματουργή διάμετρος.png (24.06 KiB) Προβλήθηκε 1554 φορές

Με διαμέτρους τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα OA=d

και

, γράφω ημικύκλια τα οποία

τέμνονται στο

. Το κάθετο προς την

, τμήμα

, τέμνει το μοβ ημικύκλιο στο σημείο

.

α) Υπολογίστε την σχέση των h , d

, ώστε το

να είναι το μέσο της

.

β) Αν το

να είναι το μέσο της

, η προέκταση του

τέμνει το μπλε ημικύκλιο στο

και

είναι η προβολή του

στην

, βρείτε τις "συντεταγμένες" του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 16, 2025 11:57 am Θαυματουργή διάμετρος.pngΜε διαμέτρους τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα και , γράφω ημικύκλια τα οποία

τέμνονται στο . Το κάθετο προς την , τμήμα , τέμνει το μοβ ημικύκλιο στο σημείο .

α) Υπολογίστε την σχέση των , ώστε το να είναι το μέσο της .

β) Η προέκταση του , τέμνει το μπλε ημικύκλιο στο και έστω η προβολή του στην .

Βρείτε τις "συντεταγμένες" του σημείου . Υπόδειξη : Για ευκολία θεωρήστε ότι : .

Θαυματουργή διάμετρος

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Ας είναι και $K\,\,,\,\,L$ τα κέντρα των ημικυκλίων διαμέτρων , $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB$ .

Τα A,T,B

ανήκουν στην ίδια ευθεία αφού , $\widehat {BTO} = \widehat {OTA} = 90^\circ$

Ακόμα έστω

το άλλο σημείο τομής της

με το μπλε ημικύκλιο .

Το τραπέζιο OMTB

είναι ισοσκελές και στο δισορθογώνιο τραπέζιο OSTB

η ευθεία

διέρχεται από τα

μέσα $L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ των βάσεων του , Από το σημείο τομής

των μη παραλλήλων πλευρών του καθώς και

από το σημείο τομής των διαγωνίων του . Προφανώς το $\vartriangle JTM$ είναι ισοσκελές .

: Θαυματουργή διάμετρος_Κατασκευή_Λύση_α.png (30.34 KiB) Προβλήθηκε 1502 φορές

Το $LJ// = \dfrac{1}{2}OA = OK$ . Από τα σχηματιζόμενα ορθογώνια , $OSFJ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SKJF$ προκύπτει η ομοιότητα

των $\vartriangle SMO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle FMJ$ κι έτσι αν $OA = 6m\,\,,\,\,SK = x$ θα είναι KA = r = 3m

θα έχω :

. Η τετράδα , $\left( {O,K\backslash S,A} \right)$ είναι αρμονική , συνεπώς : $\dfrac{{SK}}{{SO}} = \dfrac{{AK}}{{AO}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{x}{{3m - x}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = m$ .

Θα είναι λοιπόν : $OS = 2m\,\,,\,\,SK = m\,\,,\,\,KA = r = 3m$ . Επειδή $M{S^2} = 2{m^2} \Rightarrow MS = m\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)$ .

$\dfrac{{MS}}{{OL}} = \dfrac{{AS}}{{AO}} \Rightarrow \dfrac{{m\sqrt 2 }}{{\dfrac{1}{2}h}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{{3m}}{4}\sqrt 2 \Leftrightarrow \boxed{h = \dfrac{d}{2}\sqrt 2 }$ .

Για το 2ο ερώτημα.

: Θαυματουργή διάμετρος_Κατασκευή_λυση b.png (33.39 KiB) Προβλήθηκε 1502 φορές

Η

διέρχεται από το

και η

είναι μεσοκάθετος στη χορδή

.

Τα τρίγωνα $PMA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MKO$ είναι όμοια , οπότε αφού OS = 2SK

θα είναι και QA = 2MO = 2ME = QE

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 16, 2025 11:57 am Θαυματουργή διάμετρος.pngΜε διαμέτρους τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα και , γράφω ημικύκλια τα οποία

τέμνονται στο . Το κάθετο προς την , τμήμα , τέμνει το μοβ ημικύκλιο στο σημείο .

α) Υπολογίστε την σχέση των , ώστε το να είναι το μέσο της .

β) Η προέκταση του , τέμνει το μπλε ημικύκλιο στο και έστω η προβολή του στην .

Βρείτε τις "συντεταγμένες" του σημείου . Υπόδειξη : Για ευκολία θεωρήστε ότι : .

Μια άποψη για το πρώτο ερώτημα (Αύριο το δεύτερο)

a)Προφανώς B,T,A

συνευθειακά κι αν TM=MS=m

θα είναι

$TS^2=4m^2=2OS^2=OS.AS \Rightarrow AS=2OS$ και $\dfrac{h^2}{d^2}= \dfrac{BT}{TA}= \dfrac{OS}{AS}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{d}{h} = \sqrt{2}$

: θαυματουργή διάμεσος.png (30.49 KiB) Προβλήθηκε 1499 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 16, 2025 11:57 am Θαυματουργή διάμετρος.pngΜε διαμέτρους τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα και , γράφω ημικύκλια τα οποία

τέμνονται στο . Το κάθετο προς την , τμήμα , τέμνει το μοβ ημικύκλιο στο σημείο .

α) Υπολογίστε την σχέση των , ώστε το να είναι το μέσο της .

β) Η προέκταση του , τέμνει το μπλε ημικύκλιο στο και έστω η προβολή του στην .

Βρείτε τις "συντεταγμένες" του σημείου . Υπόδειξη : Για ευκολία θεωρήστε ότι : .

Αλλιώς για το α). Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

: Θαυματουργή διάμετρος.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 1488 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} SM \cdot ST = S{O^2} \Leftrightarrow 2{y^2} = {x^2} \hfill \\ T{S^2} = OS \cdot SA \Leftrightarrow 4{y^2} = x(d - x) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = \frac{d}{3},y = \frac{{d\sqrt 2 }}{6}$

$\displaystyle M{E^2} = OE \cdot EB \Leftrightarrow {x^2} = y(h - y) \Leftrightarrow \frac{{{d^2}}}{9} = \frac{{d\sqrt 2 }}{6}\left( {h - \frac{{d\sqrt 2 }}{6}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{d}{h}=\sqrt 2}}$

Όπως είναι γραμμένη η άσκηση το β) ερώτημα είναι ανεξάρτητο από το α), οπότε τα πράγματα περιπλέκονται.

Αν, ωστόσο, ισχύουν οι υποθέσεις του α), τότε βρίσκω $\displaystyle Q\left( {\frac{{5d}}{9},\frac{{d\sqrt 2 }}{9}} \right)$ Ας το ξεκαθαρίσει ο θεματοδότης.

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 16, 2025 11:57 am Θαυματουργή διάμετρος.pngΜε διαμέτρους τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα και , γράφω ημικύκλια τα οποία

τέμνονται στο . Το κάθετο προς την , τμήμα , τέμνει το μοβ ημικύκλιο στο σημείο .

β) Αν το να είναι το μέσο της , η προέκταση του τέμνει το μπλε ημικύκλιο στο

και είναι η προβολή του στην , βρείτε τις "συντεταγμένες" του σημείου .

Ισχύουν όλα τα ευρήματα από το πρώτο ερώτημα που είναι σημειωμένα στο σχήμα.

: Θαυματουργή διάμετρος.β.png (23.16 KiB) Προβλήθηκε 1464 φορές

$\displaystyle \frac{{QA}}{{QM}} = \frac{{AS}}{{SO}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{QA}}{{AM}} = \frac{2}{3} = \frac{{QN}}{{MS}} \Leftrightarrow QN = \frac{{d\sqrt 2 }}{9}$

Εύκολα στη συνέχεια $\displaystyle NO = \frac{{5d}}{9},$ άρα $\boxed{Q\left( {\frac{{5d}}{9},\frac{{d\sqrt 2 }}{9}} \right)}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 16, 2025 11:57 am Θαυματουργή διάμετρος.pngΜε διαμέτρους τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα και , γράφω ημικύκλια τα οποία

τέμνονται στο . Το κάθετο προς την , τμήμα , τέμνει το μοβ ημικύκλιο στο σημείο .

α) Υπολογίστε την σχέση των , ώστε το να είναι το μέσο της .

β) Αν το να είναι το μέσο της , η προέκταση του τέμνει το μπλε ημικύκλιο στο

και είναι η προβολή του στην , βρείτε τις "συντεταγμένες" του σημείου .

...και το δεύτερο ερώτημα...

Λόγω της προφανούς ισότητας των κόκκινων γωνιών, το OAPT

είναι ισοσκελές τραπέζιο κι επειδή TM=MS=m

θα

είναι $TP=OS \Rightarrow TP^2=OS^2=2m^2$ άρα η

εφάπτεται του κύκλου (M,S,A,P)

συνεπώς οι ροζ γωνίες

είναι ίσες και προφανώς η

διχοτομεί τη γωνία TPQ

άρα η

περνά από το μέσον

της

άρα

$TS//BK \Rightarrow \dfrac{BK}{KO} = \dfrac{TM}{MS}=1 \Rightarrow BK=KO= \dfrac{h}{2}$

και δεδομένου ότι $d=h \sqrt{2}$ παίρνουμε $\dfrac{OK^2}{OA^2}= \dfrac{1}{8} \Rightarrow LQ=QA=4x$

Τώρα $\dfrac{QN}{d}= \dfrac{KQ}{KA}= \dfrac{5x}{9x} \Rightarrow QN= \dfrac{5d}{9}$

$\dfrac{QD}{KO}= \dfrac{AQ}{AK}= \dfrac{4}{9} \Rightarrow QD= \dfrac{4}{9} \dfrac{h} {2} \Rightarrow QD= \dfrac{d \sqrt{2} }{9}$ και $Q( \dfrac{5d}{9},\dfrac{d \sqrt{2} }{9})$

: θαυματουργή διάμετρος.png (74.66 KiB) Προβλήθηκε 1424 φορές

Θαυματουργή διάμετρος

Θαυματουργή διάμετρος

Re: Θαυματουργή διάμετρος

Re: Θαυματουργή διάμετρος

Re: Θαυματουργή διάμετρος

Re: Θαυματουργή διάμετρος

Re: Θαυματουργή διάμετρος

Μέλη σε σύνδεση