Αλγεβρικές δεξιότητες

KARKAR · #1

Να λυθεί ως προς

, η εξίσωση : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{4x}{x+y} , x\geq 1$ . Ονομάζουμε f(x)

την μικρότερη ρίζα της εξίσωσης .

Να βρεθεί η μοναδική (;) τιμή του

, για την οποία : $f(x)=\dfrac{4}{9}$ και να υπολογισθεί το $\lim\limits_{ x\to+\infty}f(x)$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 12, 2025 2:06 pm
Να λυθεί ως προς , η εξίσωση : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{4x}{x+y} , x\geq 1$ . Ονομάζουμε την μικρότερη ρίζα της εξίσωσης .

Να βρεθεί η μοναδική (;) τιμή του , για την οποία : $f(x)=\dfrac{4}{9}$ και να υπολογισθεί το $\lim\limits_{ x\to+\infty}f(x)$ .

Ισοδύναμα, πολλαλπασιάζοντας χιαστί, είναι $\displaystyle{(x+y)^2=4x^2y \, (*)}$ ή αλλιώς y^2+2x(1-2x)y+x^2=0

. Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η μικρότερη ρίζα είναι (με το πλην) η

$\displaystyle{y= f(x) = (2x-1)x-2x\sqrt {x^2-x} }$

Για να λύσουμε ως προς

την $y=f(x)=\dfrac{4}{9}$ είναι ευκολότερο να βάλουμε $y=\dfrac{4}{9}$ στην (*)

(αλλιώς οδηγεί σε τεταρτοβάθμια). Θα βρούμε

$\displaystyle{\left (x+\dfrac{4}{9} \right )^2=\dfrac{16x^2}{9}}$ , και άρα $\displaystyle{x+\dfrac{4}{9} =\pm \dfrac{4x}{3}}$ . Η τελευταίες είναι πρωτοβάθμιες, και κρατάμε την ρίζα $\boxed {x= \dfrac{4}{3}}$ που ικανοποιεί την δοθείσα συνθήκη $x\ge 1$ .

Για το όριο στο άπειρο της $(2x-1)x-2x\sqrt {x^2-x}$ , πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή επί την συζηγή παράσταση, αναγόμαστε στην ίση της

$\displaystyle{ \dfrac {x^2}{ (2x-1)x+2x\sqrt {x^2-x}} = \dfrac {1}{ 2-\dfrac {1}{x} +2\sqrt {1-\dfrac {1}{x}}} \longrightarrow \dfrac {1}{2+2} = \dfrac {1}{4}}$

Αλγεβρικές δεξιότητες

Αλγεβρικές δεξιότητες

Re: Αλγεβρικές δεξιότητες

Μέλη σε σύνδεση