Πάνω από 1, κάτω από 2 (ξανά)

#1

Δείξτε ότι σε κάθε πολύγωνο πάντα υπάρχουν δύο πλευρές του a,b

με $a\le b < 2a$ .

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για μικρότερες τάξεις.)

#2

Ανοικτή σε όλους.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιούλ 01, 2025 12:33 am Δείξτε ότι σε κάθε πολύγωνο πάντα υπάρχουν δύο πλευρές του με $a\le b < 2a$ .

Κατατάσσουμε τις πλευρές κατά σειρά μεγέθους από την μικρότερη στην μεγαλύτερη, έστω $a_1\le a_2\le ... \,\le a_N$ . Εργαζόμαστε με άτοπο: Έστω ότι για κάθε

ίσχυε $\dfrac {a_{k+1}}{a_k} \ge 2$ . Θα είχαμε τότε

$a_{N-1} \le \dfrac {1}{2} a_{N}$
$a_{N-2} \le \dfrac {1}{2} a_{N-1}\le \dfrac {1}{2^2} a_{N}$
...
$a_{1} \le \dfrac {1}{2} a_{2}\le ... \le \dfrac {1}{2^{N-1}} a_{N}$

Με πρόσθεση κατά μέλη, και με χρήση του $\dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{2^2}+ ...+ \dfrac {1}{2^n}< 1$ , έχουμε

$a_{N-1}+a_{N-2} +...+ a_{1} \le \left ( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{2^2}+... + \dfrac {1}{2^{N-1}} \right ) a_N< a_N$

Αλλά αυτό είναι άτοπο γιατί το a_N

είναι σίγουρα μικρότερο από το μήκος της τεθλασμένης γραμμής από πάνω της, στο σχήμα. Τελικά υπάρχει

με $\dfrac {a_{n+1}}{a_n} < 2.$ Ειδικά, $a_n} \le a_{n+1} < a_n$ (η αριστερή διότι οι πλευρές είναι κατά σειρά μεγέθους), όπως θέλαμε.

Πάνω από 1, κάτω από 2 (ξανά)

Πάνω από 1, κάτω από 2 (ξανά)

Re: Πάνω από 1, κάτω από 2 (ξανά)

Re: Πάνω από 1, κάτω από 2 (ξανά)

Μέλη σε σύνδεση