Ελαφριά απόσταση

duamba · #1

: apostasi-varik.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 1301 φορές

Δείξτε ότι η απόσταση του βαρύκεντρου ενός τριγώνου από μια ευθεία γραμμή είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο των αποστάσεων των κορυφών του από αυτήν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

duamba έγραψε: Τετ Ιούλ 30, 2025 11:46 am apostasi-varik.png
Δείξτε ότι η απόσταση του βαρύκεντρου ενός τριγώνου από μια ευθεία γραμμή είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο των αποστάσεων των κορυφών του από αυτήν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έψαξα σε παλιότερα θέματα και βρήκα αυτή την αναλυτική απόδειξη, ζητώ την γεωμετρική σας συνεισφορά.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δεν έχω καλή επίγνωση της κατηγοριοποίησης των φακέλων, ας μεταφερθεί αν κριθεί απαραίτητο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

duamba έγραψε: Τετ Ιούλ 30, 2025 11:46 am
Δείξτε ότι η απόσταση του βαρύκεντρου ενός τριγώνου από μια ευθεία γραμμή είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο των αποστάσεων των κορυφών του από αυτήν.

: diamesoi.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 1269 φορές

.
Επειδή μας διαβάζουν μαθητές, θα είμαι λίγο αναλυτικός.

Φέρνουμε την διάμεσο

, και τις σημειωμένες προβολές των σημείων στην ευθεία. Έχουμε από Θαλή

$\dfrac {AA'}{OA}= \dfrac {KK'}{OK}= \dfrac {DD'}{OD}$ , άρα $\dfrac {AA'-KK'}{OA-OK}= \dfrac {KK'-DD'}{OK-OD}$

H τελευταία δίνει $\dfrac {AA'-KK'}{KK'-DD'}= \dfrac {OA-OK}{OK-OD}= \dfrac {AK}{KD}=2$ (ιδιότητα κέντρου βάρους), δηλαδή

AA'-KK' = 2(KK'-DD')

, οσοδύναμα

$\boxed {3KK' = AA'+2DD'= AA'+(BB'+CC')}$ , από όπου το ζητούμενο.

#4

duamba έγραψε: Τετ Ιούλ 30, 2025 11:46 am apostasi-varik.png
Δείξτε ότι η απόσταση του βαρύκεντρου ενός τριγώνου από μια ευθεία γραμμή είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο των αποστάσεων των κορυφών του από αυτήν.

Αλλιώς. Έστω

η διάμεσος,

το μέσο του

και

οι προβολές των

B, A, P, K, M, C

αντίστοιχα στη δοσμένη ευθεία. Από τα σχηματιζόμενα τραπέζια AA'K'K,

έχω:

: Ελαφριά απόσταση.png (15.3 KiB) Προβλήθηκε 1249 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 2PP' = AA' + KK' \hfill \\ 2KK' = PP' + MM' \hfill \\ 2MM' = BB' + CC' \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{3KK'=AA'+BB'+CC'}$

STOPJOHN · #5

duamba έγραψε: Τετ Ιούλ 30, 2025 11:46 am apostasi-varik.png
Δείξτε ότι η απόσταση του βαρύκεντρου ενός τριγώνου από μια ευθεία γραμμή είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο των αποστάσεων των κορυφών του από αυτήν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έψαξα σε παλιότερα θέματα και βρήκα αυτή την αναλυτική απόδειξη, ζητώ την γεωμετρική σας συνεισφορά.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δεν έχω καλή επίγνωση της κατηγοριοποίησης των φακέλων, ας μεταφερθεί αν κριθεί απαραίτητο.

Έστω $AE=d_{1},BP=d_{2},CO=d_{3},KT=d,\hat{KJM}=90^{0},\hat{C\Pi K}=90^{0}$

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$NSK,KC\Pi ,K\Pi =2MJ,K\Pi =d-d_{3},MJ=\dfrac{d-d_{3}}{2}, MJ=\dfrac{d_{1}+d_{2}}{2}-d\Rightarrow d_{1}+d_{2}-2d=d-d_{3}$

Ελαφριά απόσταση

Ελαφριά απόσταση

Re: Ελαφριά απόσταση

Re: Ελαφριά απόσταση

Re: Ελαφριά απόσταση

Re: Ελαφριά απόσταση

Μέλη σε σύνδεση