Πρώτοι διαιρέτες ακολουθίας

Συντονιστής: nkatsipis

Απάντηση
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 530
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Πρώτοι διαιρέτες ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa »

Μια ιδιοκατασκευή:

Έστω μετασχηματισμός ακεραίων P(a,b)=(a^2+2b^2,a^2+2b^2-1).

Ξεκινώντας από το ζεύγος (m+1,m) και με διαδοχικές εφαρμογές του μετασχηματισμού παίρνουμε την ακολουθία ζευγών (a_{n},b_{n}).

Έστω S το σύνολο των πρώτων διαιρετών των στοιχείων της ακολουθίας b_{n}.

Δείξτε ότι, με εξαίρεση ίσως ένα πεπερασμένο υποσύνολο, όλα τα στοιχεία του S είναι της μορφής 4k+1.
Ετικέτες:
μετασχηματισμός
πρώτοι-διαιρέτες
Κορυφή
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 530
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Πρώτοι διαιρέτες ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa »

Δίνω ισχυρή υπόδειξη:
Ορίστε A_{1}=\begin{bmatrix} m+1 &m &m \\ m & m+1 & m \\ m& m & m+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & b_{1} \\ b_{1} & a_{1} &b_{1} \\ b_{1} & b_{1} & a_{1} \end{bmatrix} και γενικά A_{n}=\begin{bmatrix} a_{n} & b_{n} &b_{n} \\ b_{n} & a_{n}& b_{n} \\ b_{n}& b_{n} & a_{n} \end{bmatrix}. Παρατηρήστε ότι A_{1}^2=A_{2} και

γενικά A_{n}^2=A_{n+1} και άρα A_{n+1}=A_{1}^{2^n}

Θέτοντας d=det(A_{1}), έχουμε ότι det(A_{n+1})=d^{2^n}. Αν ο πρώτος αριθμός p διαιρεί το b_{n+1}, τότε θεωρώντας τον πίνακα A_{n+1} ως πίνακα με στοιχεία στο \mathbb{Z}_{p}, παρατηρούμε ότι det(A_{n+1})\equiv 1(modp)\Leftrightarrow p|d^{2^n}-1. Αναλύουμε το d^{2^n}-1 με διαδοχικές διαφορές τετραγώνων και το γράφουμε σαν γινόμενο κάποιων σταθερών παραγόντων και κάποιων παραγόντων της μορφής x^2+1. Αν το p είναι της μορφής 4k+3 και διαφορετικό από κάποιες πεπερασμένες τιμές, δεν μπορεί να διαιρεί το d^{2^n}-1, λόγω γνωστής πρότασης. Τελικά, οι πρώτοι που διαιρούν τα b_{n} είναι, με εξαίρεση ένα πεπερασμένο υποσύνολο, της μορφής 4k+1.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες