Διαφορετική

bubu · #1

Δίνεται η συνάρτηση Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x² - 3x)e^x

, με $x \in R$ .

Δ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Να αποδείξετε ότι έχει μία μοναδική θέση τοπικού ελαχίστου x_0

, για την οποία ισχύει $x_0 \in (2, 3)$ .

Δ2. Αν x_0

είναι η θέση του τοπικού ελαχίστου, να αποδείξετε ότι $f(x_0) = (3 - 2x_0)e^{x_0}$ .

Δ3. Να αποδείξετε ότι η τιμή του τοπικού ελαχίστου είναι αρνητική, δηλαδή f(x_0) < 0

.

Δ4.
i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\int_{0}^{3} \left | f'(x)\right |dx$ συναρτήσει της τιμής f(x_0)

.

ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_1 \in (0, x_0)$ και $x_2 \in (x_0, 3)$ τέτοια ώστε να ισχύει:
-x_0 · f'(x_1) + (3 - x_0) · f'(x_2) = I

.

Dimessi · #2

Δ1) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'\left ( x \right )=\left ( x^{2}-x-3 \right )e^{x}.$
Το τριώνυμο έχει $\Delta =13$ και ρίζες $p_{1}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ και $p_{2}=\frac{1+\sqrt{13}}{2},$ άρα $f'\left ( x \right )> 0$ στα διαστήματα $\left ( -\infty,p_{1} \right ),\left ( p_{2},+\infty \right )$ και $f'\left ( x \right )< 0$ στο $\left ( p_{1},p_{2} \right ).$ Άρα

γνήσια αύξουσα στα διαστήματα $\left ( -\infty,p_{1} \right ],\left [p_{2},+\infty \right )$ και γνήσια φθίνουσα στο $\left [ p_{1},p_{2} \right ].$ Οπότε η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $p_{1}$ και τοπικό ελάχιστο στο $p_{2}=x_{0}.$ Το ότι $x_{0} \in \left (2, 3 \right)$ είναι άμεσο από το $3<\sqrt {13}<5.$
Δ2) Για το $x_{0}$ ισχύει $x_{0}^2-3x_{0}=3-2x_{0} \Rightarrow f(x_{0})=(3-2x_{0})e^{x_{0}}.$
Δ3) Επειδή $x_{0}>2 \Rightarrow f(x_{0})<0.$
Δ4) i) Η

είναι συνεχής στο [0,3].

Από το πρόσημο της

στο Δ1) έχουμε $\displaystyle I=\int \limits_{0}^{3}\left | f'\left ( x \right )\right |dx=\int \limits_{0}^{x_{0}}-f'\left ( x \right )dx+\int \limits_{x_0}^{3}f'\left ( x \right )dx=f\left ( 0 \right )+f\left ( 3 \right )-2f\left ( x_{0} \right )=-2f\left ( x_{0} \right ).$
ii) Με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την

σε καθένα από τα διαστήματα $[0,x_{0]$ και $[x_{0},3]$ βρίσκουμε $x_1 \in (0,x_0),x_2 \in (x_{0},3),$ τέτοια ώστε $f'\left ( x_{1} \right )= \frac{f\left ( x_{0} \right )-f\left ( 0 \right )}{x_{0}-0}=\frac{f\left ( x_{0} \right )}{x_{0}}$ και $f'\left ( x_{2} \right )= \frac{f\left ( x_{0} \right )-f\left ( 3 \right )}{x_{0}-3}=\frac{f\left ( x_{0} \right )}{x_{0}-3}.$
Προσθέτοντας παίρνουμε $-x_{0}f'\left ( x_{1} \right )+\left ( 3-x_{0} \right )f'\left ( x_{2} \right )=-2f\left ( x_{0} \right )=I.$

Διαφορετική

Διαφορετική

Re: Διαφορετική

Μέλη σε σύνδεση