Συμμετρικό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $x, y \in \mathbb{C} \mid \mathfrak{Re}(x), \mathfrak{Re}(y)>0$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{-1}^1 (1-t)^{x-1} (1+t)^{y-1} \mathrm{d}t=2^{x+y-1} \mathrm{B}(x,y)}$
όπου $\mathrm{B}$ η συνάρτηση βήτα του Euler.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Σεπ 18, 2025 9:56 pm Έστω $x, y \in \mathbb{C} \mid \mathfrak{Re}(x), \mathfrak{Re}(y)>0$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{-1}^1 (1-t)^{x-1} (1+t)^{y-1} \mathrm{d}t=2^{x+y-1} \mathrm{B}(x,y)}$
όπου $\mathrm{B}$ η συνάρτηση βήτα του Euler.

H αλλαγή μεταβλητής t=1-2s

δίνει

$\displaystyle{I = -2\int _{1}^{0}(2s)^{x-1} (2-2s)^{y-1}ds= 2^{1+2(x-1)+2(y-1)}\int _{0}^{1}s^{x-1}(1-s)^{y-1} ds= 2^{x+y-1} B(x,y)}$

Συμμετρικό ολοκλήρωμα

Συμμετρικό ολοκλήρωμα

Re: Συμμετρικό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση