Δύο υπερδυνάμεις

#1

.
Να αποδειχθεί (με ύλη Γυμνασίου) η ανισότητα $\displaystyle{2^{2^ {800} } > 3^{3^ {500} } }$

(Υπόψη ότι το $2^{2^ {800} }$ είναι ο αριθμός $2^{(2^ {800} )}$ και όχι ο $\left (2^2\right ) ^{800}$ , και όμοια το δεύτερο νούμερο).

Tolaso J Kos · #2

Επιχειρώ μία λύση ... αλλά δε ξέρω κατά πόσο είναι Γυμνασίου.

Ξεκινάμε με το πηλίκο των εκθετών και σε συνδυασμό με την ανισότητα $\displaystyle{\left( 1 + x \right)^n \geq 1 + nx}$ έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{2^{800}}{3^{500}} &= \left( \frac{2^8}{3^5} \right)^{100} \\ &= \left( \frac{256}{243} \right)^{100} \\ &= \left( 1 + \frac{13}{243} \right)^{100} \\ & \geq 1 + 100 \cdot \frac{13}{243} \\ & = 1 + \frac{1300}{243} \\ & > 2 \end{aligned}}$

Εκθετίζοντας έχουμε:

$\displaystyle{2^{2^{800}} > 2^{2 \cdot 3^{500}} = 4^{3^{500}} > 3^{3^{500}}}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Σεπ 27, 2025 1:47 pm Επιχειρώ μία λύση ... αλλά δε ξέρω κατά πόσο είναι Γυμνασίου.

Ξεκινάμε με το πηλίκο των εκθετών και σε συνδυασμό με την ανισότητα $\displaystyle{\left( 1 + x \right)^n \geq 1 + nx}$ έχουμε:

Ωραιότατα. Μπορούμε και με μικρότερο εργαλείο από την παραπάνω ανισότητα, μένοντας εντός Γυμνασίου. Θα μας βγάλει την ανισότητα που ζήτησα, η οποία όμως είναι ασθενέστερη αυτής που έδειξες. Θέλω να πω, χρησιμοποίησες κάπως ισχυρότερο εργαλείο αλλά κατέληξες σε πολύ καλύτερο αποτέλεσμα.

Ας την δούμε και εντελώς εντός Γυμνασιακής ύλης.

Tolaso J Kos · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Σεπ 27, 2025 2:01 pm Ας την δούμε και εντελώς εντός Γυμνασιακής ύλης.

Θέλω να δω μία τέτοια λύση.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Σεπ 27, 2025 1:27 pm .
Να αποδειχθεί (με ύλη Γυμνασίου) η ανισότητα $\displaystyle{2^{2^ {800} } > 3^{3^ {500} } }$

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Σεπ 27, 2025 2:01 pm Ας την δούμε και εντελώς εντός Γυμνασιακής ύλης.

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Οκτ 10, 2025 6:23 pm Θέλω να δω μία τέτοια λύση.

Αφού $\displaystyle{2^{2^ {800} } = 4^{2^ {799} }> 3^{2^ {799}$ , αρκεί να δείξουμε $\displaystyle{2^ {799}> 3^ {500} }$ , ισοδύναμα $\displaystyle{\left ( \dfrac {2^ {8}}{ 3^ {5}}\right ) ^{100} > 2 }$ .

Από την ταυτότητα (1+x)^2=1+2x+x^2

έχουμε

. Συνεπώς

$\displaystyle{\left ( \dfrac {2^ {8}}{ 3^ {5}}\right ) ^{100} = \left ( \dfrac {256}{ 243}\right ) ^{100} = \left (1 +\dfrac {13}{ 243}\right ) ^{100} > \left (1 +\dfrac {26}{ 243}\right ) ^{50} > \left (1 +\dfrac {52}{ 243}\right ) ^{25} > \left (1 +\dfrac {52}{ 243}\right ) ^{24} >}$

$\displaystyle{> \left (1 +\dfrac {104}{ 243}\right ) ^{12} > \left (1 +\dfrac {208}{ 243}\right ) ^{6} >\left (1 +\dfrac {416}{ 243}\right ) ^{3} > (1+1)^3>2}$

Δύο υπερδυνάμεις

Δύο υπερδυνάμεις

Re: Δύο υπερδυνάμεις

Re: Δύο υπερδυνάμεις

Re: Δύο υπερδυνάμεις

Re: Δύο υπερδυνάμεις

Μέλη σε σύνδεση