Ανισότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $a,b,c\geq 0$
Να δειχθεί ότι
$abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Οκτ 06, 2025 11:05 am Εστω $a,b,c\geq 0$
Να δειχθεί ότι
$abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

Θέτουμε $x=a+b-c, \, y=a-b+c, \,z=-a+b+c$ . Λύνοντας θα βρούμε $a=\dfrac {1}{2} (x+y)$ και κυκλικά. 'Αρα

$\displaystyle{abc = \dfrac {1}{2^3} (x+y)(y+z)(z+x) \ge \dfrac {1}{2^3} (2\sqrt {xy})(2\sqrt {yz})(2\sqrt {zx})= xyz=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}$

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Οκτ 06, 2025 11:05 am Εστω $a,b,c\geq 0$
Να δειχθεί ότι
$abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

Εκτός φακέλου.

Αν εκτελέσουμε τις πράξεις στο δεύτερο μέλος καταλήγουμε στη γνωστή ανισότητα του Schur:

$\displaystyle {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c)$ που ισχύει.

αρψ2400 · #4

Νομίζω (αν δεν έχω κάνει κάποιο λογιστικό σφάλμα) ότι πέφτεις πάνω στην συγκεκριμένη ανισότητα προσπαθώντας να αποδείξεις το:

Έστω τρίγωνο ABC

.Αν

η ακτίνα του περιγραμμένου του κύκλου και

η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, να αποδειχτεί ότι το

είναι μεγαλύτερο ή ίσο από

φορές το

. $R\geq 2r$

Αν κι εγώ κινήθηκα αντίστροφα.Χωρίς αυτό να σημαίνει οτι έχουμε ισοδυναμία αφού πρέπει να ισχύει και η τριγωνική ανισότητα.Η απόδειξη της ανισότητας είναι αρκετή για την απόδειξη της $R\geq 2r$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Για την ανισότητα Schur βλέπε.
https://en.wikipedia.org/wiki/Schur%27s_inequality
Γιώργο δεν νομίζω ότι είναι εκτός φακέλλου.
Μιχάλη υπάρχει το εξής πρόβλημα στην λύση σου.
Πρέπει τα αυτά που αντικαθιστάς να είναι μη αρνητικά.
Είναι ευκολο να δούμε ότι δεν μπορεί δύο να είναι αρνητικά.
Αν ένα είναι αρνητικό τότε είναι τετριμμένη.

Γενικά μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα a,b,c

είναι πλευρές τριγώνου.
Μπορούμε να έχουμε λύση με Γεωμετρία.
Ο αρψ2400 έχει δίκιο.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση