Ύποπτη διαφορά

KARKAR · #1

: Ύποπτη διαφορά.png (17.96 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας

του κύκλου (O,4)

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : AS=x

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Για ποιο

είναι : $(TAS)-(TOA)=\dfrac{4}{5}\sqrt{21}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 26, 2025 10:54 am Ύποπτη διαφορά.pngΣτην προέκταση της ακτίνας του κύκλου θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Για ποιο είναι : $(TAS)-(TOA)=\dfrac{4}{5}\sqrt{21}$ ;

$\displaystyle S{T^2} = {(x + 4)^2} - {4^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ST=\sqrt{x^2+8x}}$ (1)

Φέρνω τα ίσα ύψη TD=AE=h

του ισοσκελούς τριγώνου OAT

και είναι

$\displaystyle \frac{h}{{ST}} = \frac{4}{{x + 4}} \Leftrightarrow h = \frac{{4ST}}{{x + 4}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{4\sqrt {{x^2} + 8x} }}{{x + 4}}$

: Ύποπτη διαφορά.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές

$\displaystyle (TAS) - (TOA) = \frac{h}{2}(x - 4) \Leftrightarrow 2\frac{{(x - 4)\sqrt {{x^2} + 8x} }}{{x + 4}} = \frac{4}{5}\sqrt {21} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 5(x - 4)\sqrt {{x^2} + 8x} = 2(x + 4)\sqrt {21},$ απ' όπου παίρνω τη μοναδική θετική ρίζα $\boxed{x=6}$

Θα ήθελα να δω τη λύση αυτής της εξίσωσης εντός φακέλου, χωρίς "Ταρζανιές"

#3

Ας γράψω πώς έλυσα την εξίσωση $\displaystyle 5(x - 4)\sqrt {{x^2} + 8x} = 2(x + 4)\sqrt {21}.$

Κατ' αρχάς είναι x>4.

Στη συνέχεια λόγο έχει η διαίσθηση. Ο Θανάσης διαλέγει συχνά ακέραιες τιμές.

Αν λοιπόν το

είναι ακέραιος, τότε το x^2+8x

θα είναι πολλαπλάσιο του 21.

Με δοκιμές, βρίσκω ότι

μου ταιριάζει το x=6.

Τώρα θέλω ν' αποδείξω ότι δεν έχει άλλη λύση. Υψώνω στο τετράγωνο και μετά

τις πράξεις καταλήγω στην 25x^4-1284x^2+2528x-1344=0,

όπου με $\rm Horner$ γράφεται

(x-6)(25x^3+150x^2-384x+224)=0.

Εύκολα πλέον διαπιστώνω ότι για x>4,

η δεύτερη

παρένθεση είναι θετική, οπότε η εξίσωση δεν έχει άλλη ρίζα.

Μέχρι να βρω όμως το x=6,

η σκέψη μου είναι εν μέρει μαθηματική, εν μέρει διαισθητική.

Γι' αυτό όπως έγραψα παραπάνω θα ήθελα να δω μία 100% μαθηματική λύση χωρίς ακροβατισμούς!

Dimessi · #4

Ο σταθερός όρος του πολυωνύμου είναι $25\cdot 2^{10}.$

#5

Dimessi έγραψε: Σάβ Δεκ 27, 2025 11:04 am

Ο σταθερός όρος του πολυωνύμου είναι $25\cdot 2^{10}.$

Δεν καταλαβαίνω πού βοηθάει αυτό στη λύση της εξίσωσης

Ύποπτη διαφορά

Ύποπτη διαφορά

Re: Ύποπτη διαφορά

Re: Ύποπτη διαφορά

Re: Ύποπτη διαφορά

Re: Ύποπτη διαφορά

Μέλη σε σύνδεση