Δεκατριάρι με δύο τρόπους

KARKAR · #1

: Δεκατριάρι με δύο τρόπους.png (5.04 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές

Τα σημεία A' , C'

είναι οι προβολές των A , C

αντίστοιχα , σε ευθεία η οποία διέρχεται από το

. Βρείτε

εκείνη την ευθεία , για την οποία είναι : AA'+CC'=13

. Δοκιμάστε και με κλασική γεωμετρία .

Nikitas K. · #2

Γενικά:

Θέτοντας AB = c

,

σταθερές επίσης $\angle ABA' = \phi$ , $\angle C'BC = \theta$ έχουμε ότι:

Αν AA' = y

και

αποδεικνύεται ότι υπάρχει συνάρτηση

τέτοια, ώστε y = f(x)

.

Πράγματι,

$\sin\phi = \dfrac{y}{c}$ από το $\triangle ABA'$

$\sin\theta = \dfrac{x-y}{a}$ από το $\triangle C'BC$

Από το νόμο συνημιτόνων στο $\triangle ABC$ προκύπτει ότι:

$\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \cos{(\phi+\theta)} = \cos\phi \cos\theta - \sin\phi \sin\theta = \sqrt{1- \left(\dfrac{y}{c}\right)^2} \cdot \sqrt{1- \left(\dfrac{x-y}{a}\right)^2}-\dfrac{y}{c}\cdot \dfrac{x-y}{a}$

Προφανώς μετά τις πράξεις έχουμε το ζητούμενο.

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε ότι $a = \sqrt{226}, b = \sqrt{185}$ και $c = \sqrt{97}$ και x = 13

επομένως

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 25, 2026 12:49 pm Δεκατριάρι με δύο τρόπους.pngΤα σημεία είναι οι προβολές των αντίστοιχα , σε ευθεία η οποία διέρχεται από το . Βρείτε

εκείνη την ευθεία , για την οποία είναι : . Δοκιμάστε και με κλασική γεωμετρία .

Έστω $\displaystyle \varepsilon :y + 3 = \lambda (x + 2)$ η ζητούμενη ευθεία.

$\displaystyle AA' + CC' = d(A,\varepsilon ) + d(C,\varepsilon ) = 13 \Leftrightarrow \frac{{|4\lambda - 9|}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }} + \frac{{|15\lambda - 1|}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }} = 13,$

απ' όπου $\lambda=\dfrac{3}{4}$ και $\boxed{\epsilon: 3x-4y-6=0}$

Έχω και Ευκλείδεια λύση. Θα τη γράψω αργότερα, αν δεν με προλάβει κάποιος άλλος.

Nikitas K. · #4

Για να ολοκληρώσω την απάντησή μου στο ποστ#2

Nikitas K. έγραψε: Κυρ Ιαν 25, 2026 1:55 pm Γενικά:

Θέτοντας , , σταθερές επίσης $\angle ABA' = \phi$ , $\angle C'BC = \theta$ ...

Πράγματι,

$\sin\phi = \dfrac{y}{c}$ από το $\triangle ABA'$

... Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε ότι $a = \sqrt{226}, b = \sqrt{185}$ και $c = \sqrt{97}$ και επομένως

To $f(13) = \dfrac{24}{5}$ oπότε το $\sin\phi = \dfrac{\dfrac{24}{5}}{\sqrt{97}} = \dfrac{24}{485}\sqrt{97}$

Για επαλήθευση αριθμητικών αποτελεσμάτων: εδώ

Συνεπώς βρέθηκε η ζητούμενη ευθεία.

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 25, 2026 12:49 pm Δεκατριάρι με δύο τρόπους.pngΤα σημεία είναι οι προβολές των αντίστοιχα , σε ευθεία η οποία διέρχεται από το . Βρείτε

εκείνη την ευθεία , για την οποία είναι : . Δοκιμάστε και με κλασική γεωμετρία .

: 13άρι.png (19.46 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

Γράφω τον κύκλο (C,13)

και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα AT.

Η παράλληλη από το

στην

είναι η ζητούμενη ευθεία.

Δεκατριάρι με δύο τρόπους

Δεκατριάρι με δύο τρόπους

Re: Δεκατριάρι με δύο τρόπους

Re: Δεκατριάρι με δύο τρόπους

Re: Δεκατριάρι με δύο τρόπους

Re: Δεκατριάρι με δύο τρόπους

Μέλη σε σύνδεση