Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους

KARKAR · #1

: Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους.png (17.61 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές

Με κέντρο το άκρο

της χορδής AB=d

, κύκλου

, γράφουμε νέο κύκλο ακτίνας : $r=\dfrac{3d}{5}$ ,

ο οποίος τέμνει τον (O)

στα σημεία C, D

. Αν οι

τέμνονται στο

, βρείτε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 27, 2026 3:28 pm Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους.pngΜε κέντρο το άκρο της χορδής , κύκλου , γράφουμε νέο κύκλο ακτίνας : $r=\dfrac{3d}{5}$ ,

ο οποίος τέμνει τον στα σημεία . Αν οι τέμνονται στο , βρείτε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$

.

: τελ τετρ.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές

.
Θέτουμε SB=x

. Τότε από δύναμη σημείου τρεις φορές, έχουμε

$\displaystyle{(d-x)x= AS\cdot SB= CS\cdot SD = ES\cdot SF= \left ( \dfrac {3d}{5}-x\right) \left ( \dfrac {3d}{5}+x\right)}$

Λύνοντας, $x= \dfrac {9d}{25}$ , οπότε

$\displaystyle{\dfrac{AS}{SB} = \dfrac {d- \dfrac {9d}{25}}{\dfrac {9d}{25}}=\boxed {\dfrac {16}{9}} }$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 27, 2026 3:28 pm Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους.pngΜε κέντρο το άκρο της χορδής , κύκλου , γράφουμε νέο κύκλο ακτίνας : $r=\dfrac{3d}{5}$ ,

ο οποίος τέμνει τον στα σημεία . Αν οι τέμνονται στο , βρείτε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$

Είναι $CB=BD=\dfrac{3d}{5},\hat{CDB}=\hat{DCB}=\omega$

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $ACBD,\hat{CDA}=\hat{CBA}$

Τα τρίγωνα CSB,ACB

είναι όμοια

$\dfrac{CS}{AC}=\dfrac{BS}{BC}=\dfrac{CB}{AB}\Rightarrow \dfrac{AS}{SB}=\dfrac{16d}{9d}=\dfrac{16}{9}$

Απαραιτητες διευκρινήσεις

$SB=x,AS=d-x,\dfrac{CS}{AC}=\dfrac{x.5}{3d}=\dfrac{3d}{5d}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow x=\dfrac{9d}{25}, \dfrac{d-x}{x} =\dfrac{16}{9}$

Ευχαριστώ τον Μιχάλη για την επισήμανση γράφω γρήγορα τις λύσεις

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 27, 2026 3:28 pm Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους.pngΜε κέντρο το άκρο της χορδής , κύκλου , γράφουμε νέο κύκλο ακτίνας : $r=\dfrac{3d}{5}$ ,

ο οποίος τέμνει τον στα σημεία . Αν οι τέμνονται στο , βρείτε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$

Έστω

η τομή του $\left( {B,r} \right)$ με την ευθεία

. Τα $\vartriangle ADT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OBC$ είναι όμοια ( γνωστό λήμμα), άρα AT = AD

.

: Τ'ελειο τετράγωνο από δυο κύκλους_new_1.png (33.95 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές

$\widehat {a_1^{}} = \widehat {a_2^{}} = \widehat {a_3^{}}$ .Ας Είναι $AS = x\,\,,\,\,SB = y$ . Άμεση συνέπεια, $\vartriangle BAT \approx \vartriangle BDS \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BD}} = \dfrac{{BT}}{{BS}} \Rightarrow \dfrac{{5k}}{{3k}} = \dfrac{{3k}}{y} \Rightarrow y = \dfrac{{9k}}{5}$

Αφου όμως , x + y = 5k

προκύπτει : $\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac{{16}}{9}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 27, 2026 3:28 pm Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους.pngΜε κέντρο το άκρο της χορδής , κύκλου , γράφουμε νέο κύκλο ακτίνας : $r=\dfrac{3d}{5}$ ,

ο οποίος τέμνει τον στα σημεία . Αν οι τέμνονται στο , βρείτε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$

Η κάθετη στην

στο

τέμνει τον κύκλο $(B, \dfrac{3d}{5} )$ στα Z,E

Ισχύει

συνεπώς $\angle AZB=90^0 \Rightarrow AZ$

εφάπτεται του κύκλου $(B, \dfrac{3d}{5} )$

Έτσι $AZ^2=AK.AL= \dfrac{2d}{5}. \dfrac{8d}{5}= \dfrac{16d^2}{25}$

Τώρα, $\dfrac{AS}{SB}= \dfrac{AZ^2}{ZB^2} = \dfrac{ \dfrac{16d^2}{25} }{ \dfrac{9a^2}{25} }= \dfrac{16}{9}$

: Τέλειο τετράγωνο από δυο κύκλους.png (35.31 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους

Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους

Re: Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους

Re: Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους

Re: Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους

Re: Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους

Μέλη σε σύνδεση