Κόκκινος αλλά μικρός

KARKAR · #1

: Κόκκινος αλλα μικρός.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

Υπολογίστε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου , ο οποίος εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 17, 2026 9:06 am
Κόκκινος αλλα μικρός.pngΥπολογίστε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου , ο οποίος εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και του τμήματος .

Για την ιστορία, ο υπολογισμός της ακτίνας βρίσκεται στο Περί Λημμάτων του Αρχιμήδη, Πρόταση 5.

Επισυνάπτω την μετάφραση του Σταμάτη αλλά από την απόδειξη βάζω μόνο το τέλος της όπου δίνει το τελικό αποτέλεσμα.

Υπόψη ότι η συγκεκριμένη Πρόταση 5 είναι μία από τις αρχαιότερες πηγές μας του θεωρήματος ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν, εδώ χωρίς απόδειξη. Ο Αρχιμήδης δίνει την απόδειξη αλλού.

Δυστυχώς εδώ στο mathematica έχουμε ένα εκτενές θρεντ με επονομαζόμενες "πρωτοεμφανιζόμενες" αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος για τα ύψη, πλην όμως είναι όλες γνωστές εδώ και 200 έως 2200 χρόνια νωρίτερα.
.

KARKAR · #3

Την ενδιαφέρουσα ιστορική αναφορά , μπορεί να αξιοποιήσει ο αναγνώστης για να επιβεβαιώσει το τελικό αποτέλεσμα .

Συγκεκριμένα , αν

η ακτίνα του κύκλου , ισχύει : $AT\cdot TB=AB\cdot 2r$ , δηλαδή : $r=\dfrac{6}{5}$ .

Εδώ πάντως ο λύτης καλείται να εργασθεί αυτόνομα , βρίσκοντας την ζητούμενη ακτίνα .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 17, 2026 9:06 am
Κόκκινος αλλα μικρός.pngΥπολογίστε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου , ο οποίος εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και του τμήματος .

Γενική αντιμετώπιση. Έστω O, K

τα κέντρα του μεγάλου και του μικρού ημικυκλίου αντίστοιχα.

Θέτω AT=2b, TB=2a

και

την ακτίνα του κόκκινου κύκλου. Είναι KQ=a+r,

: Κόκκινος και μικρός.png (20.11 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

$\displaystyle Q{K^2} - K{L^2} = Q{L^2} = Q{O^2} - O{L^2} \Rightarrow {(a + r)^2} - {(a - r)^2} = {(a + b - r)^2} - {(a - b - r)^2},$

Απ' όπου παίρνω τελικά $\boxed{r=\frac{ab}{a+b}}$ Στο παράδειγμά μας, $r=\dfrac{2\cdot 3}{2+3}=\dfrac{6}{5}.$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 17, 2026 1:14 pm
Εδώ πάντως ο λύτης καλείται να εργασθεί αυτόνομα , βρίσκοντας την ζητούμενη ακτίνα .

Θανάση, σωστό αυτό που λες αλλά και αυτονόητο. Γι' αυτό άλλωστε ανάρτησα μόνο το τέλος της απόδειξης του Αρχιμήδη, αποκρύπτοντας όλη την ουσία.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 17, 2026 9:06 am
Υπολογίστε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου , ο οποίος εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και του τμήματος .

Μιχάλη καλησπέρα...

Πολύ ωραία η πρόταση αυτή και η οποία δίνει εύκολα την ακτίνα του ζητούμενου κύκλου.

Αλλά και ο τρόπος του Γιώργου είναι αποτελεσματικός. Θα μπορούσε να προστεθεί και η εύρεση

της ακτίνας με το θεώρημα της επέκτασης του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Κάπως έτσι λειτούργησα κι εγώ...

Όμως παραθέτω και έναν τρόπο κατασκευής του κύκλου αυτού με τη μέθοδο της Αντιστροφής.

Δηλαδή: Ζητούμε να κατασκευάσουμε έναν κύκλο που να εφάπτεται σε δυο δοσμένους κύκλους και σε μια ευθεία.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Αντιστροφή 1.png (74.41 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

Θεωρούμε ως κύκλο αντιστροφής τον κύκλο $\displaystyle{C_o}$ με κέντρο το σημείο $\displaystyle{B}$ και τυχαία ακτίνα.

Με την αντιστροφή των δύο κύκλων και της ευθείας έχουμε δυο ευθείες και έναν κύκλο. Έτσι εύκολα

μπορούμε να κατασκευάσουμε τον κύκλο $\displaystyle{C_3}$ ο οποίος εφάπτεται των ευθειών $\displaystyle{C'_1, C'_2}$ και του κύκλου $\displaystyle{d'}$

που είναι αντίστοιχα τα αντίστροφα των κύκλων $\displaystyle{C_1, C_2}$ και της ευθείας $\displaystyle{d}$ . Ύστερα από αυτά αντιστρέφουμε τον

κύκλο $\displaystyle{C_3}$ και βρίσκουμε τον ζητούμενο $\displaystyle{ C'_3 }$ .

Έτσι ακριβώς έγινε και στο παραπάνω σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #7

: Κόκκινος αλλα μικρός.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές

Είναι : $(5-r)^2-(r-1)^2=(3+r)^2-(3-r)^2\Leftrightarrow r=\dfrac{6}{5}$

#8

Ποια είναι η διαφορά Θανάση από αυτό που έγραψα εγώ;

#9

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 9:24 am
Ποια είναι η διαφορά Θανάση από αυτό που έγραψα εγώ;

Ούτε εγώ βλέπω διαφορά. Ίσα-ίσα το γενικό πλαίσιο της λύσης του Γιώργου μειώθηκε σε συγκεκριμένα νούμερα.

KARKAR · #10

Απλά έδωσα λύση , χρησιμοποιώντας απευθείας τα δοθέντα μήκη , κάτι που πιθανότατα θα έκανε ένας διαγωνιζόμενος .

#11

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 11:15 am
Απλά έδωσα λύση , χρησιμοποιώντας απευθείας τα δοθέντα μήκη , κάτι που πιθανότατα θα έκανε ένας διαγωνιζόμενος .

Θανάση, το γννωρίζουμε αυτό, άλλωστε το βλέπουμε.

Ουσιαστικά έθεσες $a=2, \, b=3$ στον τύπο $r=\frac{ab}{a+b}$ στον τύπο του Γιώργου και τίποτα άλλο, που άλλωστε το έχει ήδη κάνει ο ίδιος.

Νομίζω ότι το να προσθέτουμε ως απανοτόκια στην εργασία ενός λύτη τα νούμερα για τετριμμένες πράξεις σε έναν ωραίο τύπο που αναδυκνύει την ουσία της κατάστασης, υποβαθμίζει την εργασία του. Παράλληλα, στην διδασκαλία μας τέτοια πρακτική μπορεί να γίνει, όπως έγραψα αλλού, tiresome, overly precise teaching.

KARKAR · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 12:52 pm

Ουσιαστικά έθεσες $a=2, \, b=3$ στον τύπο $r=\frac{ab}{a+b}$ στον τύπο του Γιώργου και τίποτα άλλο, που άλλωστε το έχει ήδη κάνει ο ίδιος.

Μιχάλη δεν έγινε έτσι . Απλά έγραψα την λύση μου όπως είχα σχεδιάσει την άσκηση .

Γενικότερα , πάντως , όταν ο θεματοδότης γράφει ένα συμπλήρωμα σε μια δημοσίευση , δεν το κάνει για να

δείξει ότι τα προηγηθέντα έχουν κάποιο "ελάττωμα" , αλλά για να φωτίσει περισσότερο το θέμα ...

#13

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 2:35 pm
αλλά για να φωτίσει περισσότερο το θέμα ...

Θανάση, αυτά που έγραψες ΔΕΝ φωτίζουν το θέμα περισσότερο. Όπως γράφω στο ποστ #9, η προσθήκη σου ΜΕΙΩΝΕΙ ουσιαστικά το θέμα. Με λίγα λόγια, ο γενικός τύπος της ακτίνας, όπως τον γράφει ο Γιώργος αλλά και ο Αρχιμήδης νωρίτερα, έχει ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΟ πλεονέκτημα από το αριθμητικό παράδειγμα.

Άλλωστε ΚΑΝΕΝΑΣ δεν έχει πρόβλημα να ακολουθήσει την απόδειξη του Γιώργου γράφοντας τα νούμερα

και

την θέση των

και

του συλλογισμού του. Το να λέμε, έμμεσα, ότι είναι ανίκανος να το κάνει, και άρα τα γράφουμε για λογαρισμό του, ξεφεύγει από το μετρο.

KARKAR · #14

Μιχάλη , θα μου επιτρέψεις να θέσω δυο ερωτήματα :

α) Τι χάνει ο αναγνώστης του θέματος βλέποντας την δική μου ανάρτηση με την λύση ;

β) Πιστεύεις πραγματικά ότι έκανα την ανάρτηση για να "μειώσω " την ( άψογη άλλωστε ) προσέγγιση του Γιώργου ;

#15

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 3:09 pm
Μιχάλη , θα μου επιτρέψεις να θέσω δυο ερωτήματα :

α) Τι χάνει ο αναγνώστης του θέματος βλέποντας την δική μου ανάρτηση με την λύση ;

β) Πιστεύεις πραγματικά ότι έκανα την ανάρτηση για να "μειώσω " την ( άψογη άλλωστε ) προσέγγιση του Γιώργου ;

Θανάση, την πρώτη σου ερώτηση ομολογώ ότι δεν την καταλαβαίνω.

Για την δεύτερη, δεν νομίζω ότι το κίνητρό σου ήταν να μειώσεις τον Γιώργο. Άλλωστε σε ξέρουμε πολλά χρόνια τώρα, και όλοι έχουμε άριστη γνώμη για την παρουσία και την συνεχή προσφορά σου εδώ. Αυτό που λέω στα παραπάνω είναι ότι η συγκεκριμένη παρέμβασή σου είναι άκρως περιττή από Μαθηματικής πλευράς. Δεν προσθέτει τίποτα ουσιαστικό, πάντα από Μαθηματικής πλευράς, ίσα ίσα δίνει την εντύπωση ότι τα Μαθηματικά είναι τυπολατρικά. Η απάντση του Γιώργου στο αρχικό ερώτημα είναι υπερπλήρης, και η ενασχόληση με δευτερεύοντα θέματα στο ίδιο μοτίβο είναι ανούσια.

KARKAR · #16

Δείτε κι εδώ .

#17

Καλημέρα...

Για το Βιβλίο Λημμάτων του Αρχιμήδη μπορείτε να το βρείτε ελεύθερα στον

ακόλουθο σύνδεσμο:

[url]https://www.openbook.gr/archimidous-vivlio-limmatwn/[/url

: Αρχιμήδους Βιβλίον Λημμάτων .png (166.06 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

Είναι ένα βιβλίο με συγγραφέα τον Νικόλαο Λ. Κεχρή γραμμένο το 2018

όπου μπορείτε να βρείτε στις σελίδες 8 και 9 την πρόταση αυτή.

Κώστας Δόρτσιος

Κόκκινος αλλά μικρός

Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Re: Κόκκινος αλλά μικρός

Μέλη σε σύνδεση