Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας

KARKAR · #1

: Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

έχει σταθερή υποτείνουσα BC=a

, αλλά μεταβλητές κάθετες πλευρές .

Φέρουμε το ύψος

και την διχοτόμο

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου ADS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 6:10 am
Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει σταθερή υποτείνουσα , αλλά μεταβλητές κάθετες πλευρές .

Φέρουμε το ύψος και την διχοτόμο . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Μια προσπάθεια .

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ , $A\left( {\cos \theta ,\sin \theta } \right)$ , $AN:\,\,\,\left( {1 + \sin \theta } \right)x - \left( {\cos \theta } \right)y - \cos \theta = 0$ και άρα:

$DS = \dfrac{{\cos \theta }}{{1 + \sin \theta }} - \cos \theta = \dfrac{{ - \cos \theta \cdot \sin \theta }}{{1 + \sin \theta }}$ .

: Μέγιστο Μεγίστης δυσκολίας.png (25.4 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

Έτσι τελικά , $\boxed{\left( {ADS} \right) = \frac{{ - \cos \theta \cdot {{\sin }^2}\theta }}{{2\left( {1 + \sin \theta } \right)}}}$

Με το λογισμικό βρίσκω : ${\left( {ADS} \right)_{\max }} \simeq 0,10695$ με $\theta \simeq 128,6685^\circ$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 6:10 am
Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει σταθερή υποτείνουσα , αλλά μεταβλητές κάθετες πλευρές .

Φέρουμε το ύψος και την διχοτόμο . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

$\displaystyle AD = \frac{{bc}}{a},BS = \frac{{ac}}{{b + c}},BD = \frac{{{c^2}}}{a}$ και $\displaystyle (ADS) = \frac{1}{2}AD \cdot DS = \frac{{bc}}{{2a}}\left( {\frac{{ac}}{{b + c}} - \frac{{{c^2}}}{a}} \right)$

Με την αντικατάσταση b^2=a^2-c^2

και μετά τις πράξεις, καταλήγω στη συνάρτηση:

: Μέγιστο μεγίστης δυσκολίας.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

$\displaystyle (ADS) = f(c) = \frac{{{c^2}({a^2} - {c^2})\left( {{a^2} - 2c\sqrt {{a^2} - {c^2}} } \right)}}{{2{a^2}({a^2} - 2{c^2})}},$ όπου με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω

$\boxed{{(ADS)_{\max }} = \frac{{\left( {\sqrt {17} - 9} \right)\left( {\sqrt {18 - 2\sqrt {17} } - 4} \right){a^2}}}{{64\sqrt {2\left( {\sqrt {17} - 1} \right)} }}}$ όταν $\boxed{c = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{1}{2}\left( {4 - \sqrt {2(\sqrt {17} - 1)} } \right)} }$

και κατά προσέγγιση $(ADS)_{\rm max}\simeq 0,026736a^2$ όταν $c=\simeq 0,43312a.$

KARKAR · #4

Θέτοντας

, παίρνουμε ( με βοήθεια λογισμικού ασφαλώς ) :

Νίκος : $(ADS)_{max}\simeq 0.10694545r^2$ .

Γιώργος : $(ADS)_{max}=\dfrac{r^2}{32}(3\sqrt{17}-11)\sqrt{2\sqrt{17}-2}$ .

Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας

Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας

Re: Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας

Re: Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας

Re: Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας

Μέλη σε σύνδεση