mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2026 2:24 pm**

Να βρεθεί ο όγκος του κοινού μέρους δύο σφαιρών ακτίνας (

), όταν το κέντρο της καθεμιάς σφαίρας βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια της άλλης.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2026 4:36 pm**

Ο όγκος στερεού που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης $f(x)=\sqrt{2rx-x^2}, \; x\in [0,h]$ , περί τον άξονα

, (βλέπε σχήμα) ισούται με
$\displaystyle V_{h}=\pi\int_{0}^{h}f^2(x)\,\mathrm{d}x=\pi\int_{0}^{h}2rx-x^2\,\mathrm{d}x=\frac{\pi\,h^2}{3}(3r-h)\,.$
Για $h=\frac{r}{2}$ προκύπτει $V=\frac{5\pi r^3}{24}$ . Επομένως ο ζητούμενος όγκος ισούται με $2V=\frac{5\pi r^3}{12}$ .

: mathemat_pic04.png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 10, 2026 7:04 am**

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 10, 2026 3:30 pm**

mick7 έγραψε: Δευ Μαρ 09, 2026 2:24 pm Να βρεθεί ο όγκος του κοινού μέρους δύο σφαιρών ακτίνας (), όταν το κέντρο της καθεμιάς σφαίρας βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια της άλλης.

grigkost έγραψε: Δευ Μαρ 09, 2026 4:36 pm Ο όγκος στερεού που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης $f(x)=\sqrt{2rx-x^2}, \; x\in [0,h]$ , περί τον άξονα , (βλέπε σχήμα) ισούται με
$\displaystyle V_{h}=\pi\int_{0}^{h}f^2(x)\,\mathrm{d}x=\pi\int_{0}^{h}2rx-x^2\,\mathrm{d}x=\frac{\pi\,h^2}{3}(3r-h)\,.$
Για $h=\frac{r}{2}$ προκύπτει $V=\frac{5\pi r^3}{24}$ . Επομένως ο ζητούμενος όγκος ισούται με $2V=\frac{5\pi r^3}{12}$ .

Γρηγόρη καλημέρα...

Φυσικά ο τύπος που δείχνεις με ολοκλήρωμα δείχνεται και με στοιχειώδη τρόπο....

Το διδάσκαμε παλαιά στα πρακτικά τμήματα του σχολείου( Γυμνάσια, Λύκεια)

Εγώ έκανα ένα σχήμα δείχνοντας το στερεό αυτό με δυναμικό τρόπο.

Εικόνα:

: Σφαιρεομετρια 1.png (178.06 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Δυναμικό αρχείο:

https://www.geogebra.org/m/ct7t4e4g

Κώστας Δόρτσιος

mathematica.gr

Σφαιρεομετρία

Σφαιρεομετρία

Re: Σφαιρεομετρία

Re: Σφαιρεομετρία

Re: Σφαιρεομετρία