S726 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το παρακάτω θέμα προτάθηκε από τον Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam στο πρώτο τεύχος του 2026.
Η ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας.

Aποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC

ισχύει

$\displaystyle \frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge \sqrt{\frac{3}{2Rr}}$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Μαρ 17, 2026 8:29 pm Το παρακάτω θέμα προτάθηκε από τον Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam στο πρώτο τεύχος του 2026.
Η ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας.

Aποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει

$\displaystyle \frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge \sqrt{\frac{3}{2Rr}}$

Αν

είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, η αποδεικτέα γράφεται: $\displaystyle \frac{1}{{s - a}} + \frac{1}{{s - b}} + \frac{1}{{s - c}} \geqslant \sqrt {\frac{6}{{Rr}}}$

Αλλά, $\displaystyle sr = (ABC) = \frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow Rr = \frac{{abc}}{{4s}}.$

Αρκεί να δείξω λοιπόν ότι $\displaystyle \frac{1}{{s - a}} + \frac{1}{{s - b}} + \frac{1}{{s - c}} \geqslant \sqrt {\frac{{24s}}{{abc}}}$

Θέτω s-a=x, s-b=y, s-c=z

και είναι

Θα δείξω ότι:

$\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant \sqrt {\frac{{24(x + y + z)}}{{(x + y)(y + z)(x + z)}}}.$ Πράγματι, ως γνωστόν είναι

$\displaystyle {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} \geqslant \frac{{3(x + y + z)}}{{xyz}}$ KAI $\displaystyle (x + y)(y + z)(x + z) \geqslant 8xyz,$

απ' όπου με πολλαπλασιασμό κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

S726 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

S726 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S726 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση