Πω πω πεντάρια !

KARKAR · #1

: Πω , πω πεντάρια !.png (12.74 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές

Σε κύκλο ακτίνας r=5

να εγγράψετε τραπέζιο με διαφορά βάσεων a-b=5

και ύψος

. Στην συνέχεια υπολογίστε το εμβαδόν του

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2026 10:55 am Πω , πω πεντάρια !.pngΣε κύκλο ακτίνας να εγγράψετε τραπέζιο με διαφορά βάσεων

και ύψος . Στην συνέχεια υπολογίστε το εμβαδόν του .

Αν

τότε

. Άρα (άμεσο) $5=h = \sqrt {5^2- \dfrac {b^2}{2^2}} + \sqrt {5^2- \dfrac {(b+5)^2}{2^2}}$ , ισοδύναμα

$5- \sqrt {5^2- \dfrac {b^2}{2^2}} = \sqrt {5^2- \dfrac {(b+5)^2}{2^2}}$ . Στο τετράγωνο γίνεται

$\dfrac {125}{4} + \dfrac {5}{2}b= 5\sqrt{100-b^2}$

Άλλη μία ύψωση στο τετράγωνο οδηγεί σε δευτεροβόθμια με θετική ρίζα την $b=\sqrt {55} - \dfrac {5}{2}$ , από όπου το εμβαδόν είναι $5\sqrt {55}$ . Τα υπόλοιπα άμεσα. Άλλωστε είδαμε ουσιαστικά την ίδια άσκηση, πλην από δευτερεύουσες παραλλαγές, νωρίτερα σήμερα.

abgd · #3

Θα μπορούσαμε να το προσεγγίσουμε και με τον εξής τρόπο:

Προφανώς έχουμε ισοσκελές τραπέζιο και

αν BC=b

, τότε οι προβολές των ίσων πλευρών AB, DC

πάνω στην μεγάλη βάση θα είναι ίσε με $\dfrac{5}{2}$

Mε τη βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος υπολογίζουμε όλες τις πλευρές και τις διαγώνιες συναρτήσει του

.

Είναι
$AD=b+5, \ \ AB=BC= \dfrac{5\sqrt{5}}{2}, \ \ BD=AC= \sqrt{25+\left(b+\dfrac{5}{2}\right)^2}$ .

Άρα $(ABCD)=(ABC)+(ADC)\Leftrightarrow \dfrac{(AD+BC)\cdot h}{2}=\dfrac{AB\cdot BC \cdot AC}{4r}+\dfrac{AD\cdot DC \cdot AC}{4r}$

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω προκύπτει εύκολα η εξίσωση: $25+\left(b+\dfrac{5}{2}\right)^2=80\Leftrightarrow \boxed{b=\sqrt{55}-\dfrac{5}{2}}$

Τα υπόλοιπα προκύπτουν άμεσα.

Πω πω πεντάρια !

Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Μέλη σε σύνδεση